Как нам прикрепить $2$-cell?

Question

Это проблема алгебраической топологии Хэтчера.

"Вычислить гомологии пространства, полученного из $D^2$ сначала удалив внутренности двух непересекающихся поддисков внутри $D^2$ а затем отождествление всех трех результирующих граничных окружностей вместе с помощью гомеоморфизмов, сохраняющих ориентацию этих окружностей по часовой стрелке ".

Я нашел решение здесь https://web.stanford.edu/class/math215b/Sol4.pdf. На фото вы можете видеть, что решение использует структуру CW и говорит$2$-ячейка $U$ прикрепляется к слову $aba^{-1}b^{-1}ca^{-1}c^{-1}$. Мой вопрос: почему это так?

Мне кажется более рациональным прикрепить $U$ к $abab^{-1}cac^{-1}$поскольку мы хотим, чтобы все 3 круга были повернуты по часовой стрелке. Я смутно понимаю процедуру: мы начинаем с$x$, затем мы обходим $a$, теперь проходим $b$ чтобы добраться до внутреннего круга из внешнего, а затем обходим $a$ снова, то мы делаем то же самое для $c$. Но почему мы идем против часовой стрелки, когда проникаем внутрь?

Answer 1

Представьте себя сидящим внутри $U$и подумайте, как проходит граница. Вы начинаете сверху$x$ затем совершите путешествие по внешнему кругу по часовой стрелке ($a$), затем прогулка по отрезку $b$ (теперь вы сделали $ab$), затем прогулка против часовой стрелки по левому внутреннему кругу ($aba^{-1}$), затем обратно $b$ ($aba^{-1}b^{-1}$) и т.д.

Дело в том, что когда ты внутри $U$прогулки по внутренним кругам - против часовой стрелки; противоположно направлению обхода внешнего круга. Только помните, что интерьер$U$ всегда находится на той же стороне, что и человек, идущий по его границе.