Как понять орбиту размера $1$ в таком случае

Question

Я начинаю заниматься теорией групп самостоятельно, поэтому, пожалуйста, ответьте на этот вопрос, на который могут быть простые ответы. Учитывая$p$-группа $G$ для некоторых премьер $p$, позволять $H$ быть подгруппой $G$. Позволять$X$ - множество всех сопряженных с $H$.

Сейчас, $H$ действует на $X$по спряжению. Я читал, что есть как минимум$p$ орбиты размера $1$ в $X$.

Один пример орбиты с размером $1$ является $\{H\} \in X$. Этот пример следует из того, что$aHa^{-1}=H$ для любой $a \in H$ поскольку $H$ является подгруппой, и мы имеем $\text{Orb}(H)=H$.

Но я читал это с тех пор $p$ простое, что есть по крайней мере $p-1$ другие орбиты размера $1$. Значит, должна быть другая орбита$gHg^{-1} \neq H$ размера $1$ в $X$.

Я не понимаю, как $gHg^{-1}$ может быть размера $1$ под действием $H$. Разве это не должно означать, что$\text{Orb}(gHg^{-1})=\{agHg^{-1}a^{-1} | a \in H\}$ а также $\text{Orb}(gHg^{-1})$ не обязательно может быть равно $gHg^{-1}$. Однако он должен иметь размер$1$, что обозначает $\text{Orb}(gHg^{-1})$ фактически должно быть равно $gHg^{-1}$.

Для справки, этот результат был взят из теоремы 4.6 Ротмана, где не было наложено никаких дополнительных условий на $H$ а также $G$ Кроме этого $H$ является подгруппой $p$-группа $G$ ... Что мне здесь не хватает?

Answer 1

Прежде всего следует отметить, что если $|X| = 1$ тогда у нас не будет $p-1$ другие орбиты, поэтому нам также нужно будет предположить $|X| \gt 1$.

Мы будем использовать эти два свойства орбит для доказательства нашего утверждения:

1. Орбиты не пересекаются, и их объединение составляет все множество $X$ (это должно быть легко увидеть).

2. Размер орбиты делит порядок группы (это доказано теоремой о стабилизаторе орбиты)

По свойству (1) имеем $$|X| = \sum_{Y \in \mathcal{O}} |Y|$$ где $\mathcal{O}$- множество, содержащее все орбиты действия. Теперь мы разделились$\mathcal{O}$ на два непересекающихся подмножества: $\mathcal{O'}$ а также $\mathcal{O''}$ где $\mathcal{O'}$ это множество всех орбит размера $1$ а также $\mathcal{O''}$ - это множество всех орбит размером больше, чем $1$. Это означает$$|X| = \sum_{Y' \in \mathcal{O'}} |Y'| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$$ поскольку $|Y'| = 1$. По свойству (2) мы знаем, что$|Y''|$ разделяет $|X| = p^n$ а также $|Y''| > 1$ что обозначает $|Y''| = p^k$ где $k > 1$ что значит $p$ разделяет $|Y''|$. Мы можем просмотреть$X$ как орбита, где действие группы сопряжено группой $G$. Это значит, что$|X|$ разделяет $|G| = p^n$. С$|X| > 1$ у нас есть это $p$ разделяет $|X|$. С$|X| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$, $p$ также должен разделить $|\mathcal{O'}|$ что значит $|\mathcal{O'}| = pm$ для некоторых $m \gt 1$ что значит $|\mathcal{O'}| \geq p$ что мы и пытались доказать.