Какие есть матрицы в POVM для измерения первого $m$ кубиты?

Question

Предположим, у вас есть квантовое состояние $|w\rangle$ состоящий из $m + n$ кубитов, и вы настраиваете измерение, которое измеряет первые $m$кубиты в стандартном базисе. Какие матрицы в соответствующем POVM?

Answer 1

Ну, так как это проективные измерения на подпространстве первого $m$ кубитов, мы можем просто перечислить все проекторы на вычислительной основе этого первого подпространства и "дополнить" их $I$находится на втором подпространстве:

$$ P_{j} = |j\rangle\langle j|_{m} \otimes I_{|n|},\,\,\, \forall j \in \{0,1\}^{m}, $$ что дает точно $|\{0,1\}^{m}| = 2^{m}$разные операторы для POVM. Если вы идентифицируете различные результаты измерения для каждого оператора, скажем,$\lambda_{j} = j_{d}$ (например $j$ в десятичной форме), вы также можете легко записать оператор измерения:

$$ M = \sum_{j} \lambda_{j}P_{j} = \sum_{j} j_{d}|j\rangle \langle j \otimes I_{n}| $$

См. Также, например, этот хороший ответ Дафтвулли для другого оператора измерения. Обратите внимание, что в этом ответе отсутствует дополнительное подпространство$n$, но вы можете решить эту проблему, добавив $I$снова.