Какое отношение конусы имеют к квадратикам? Почему 2 особенных?
Меня всегда беспокоили два чрезвычайно неочевидно связанных определения конических сечений (т.е. они кажутся настолько загадочными / волшебными, что каким-то образом срезы конуса связаны с уравнениями второй степени с двумя переменными). Недавно наткнулся на следующие страницы / видео:
- Это видео 3B1B об эллипсах , которое возродило мое желание понять коники.
- Почему квадратные уравнения - это то же самое, что и правильные круговые конические сечения? , который предлагает очень вычислительный подход к решению этого вопроса
- Еще одно видео 3B1B о визуализации троек Пифагора (т.е. поиске рациональных точек круга)
- и лекция Манджула Бхаргавы о гипотезе Берча-Суиннертона-Дайера , где минут ~ 10-15 обсуждают полное решение проблемы рациональных точек на кониках.
Хотя видео 3B1B имеет много смысла и очень красиво с геометрической точки зрения, в нем не говорится ни о каких других кониках и не обсуждается связь со «степенью 2». Более того, 2-е видео 3B1B, которое я связал, а затем лекция Бхаргавы выделяет «степень 2» как то, что мы хорошо понимаем, по сравнению с более высокими степенями (немного напоминает мне последнюю теорему Ферма и отсутствие решений для$n>2$).
Итак, я предполагаю, что мои вопросы следующие:
- Почему, с интуитивной точки зрения, мы должны ожидать, что конусы будут глубоко связаны с нулевыми наборами алгебраических уравнений степени 2?
и в более общем плане:
- Есть ли какая-то глубокая причина, почему цифра 2 такая особенная? Я часто слышал шутку, что «математика - это превращение запутанных вещей в линейную алгебру», потому что линейная алгебра - «единственный предмет, который математики полностью понимают»; но, похоже, мы также понимаем много хороших вещей в квадратиках - у нас есть вышеупомянутая связь с конусами, полное понимание рациональных точек и теорема Пифагора (о! и я просто подумал о квадратичной взаимности).
Также интересно отметить, что многие уравнения в физике связаны с 2 (второй производной), хотя это может быть натяжкой. Я ценю любые идеи, которыми вы делитесь!
Ответы
Сам конус - квадратичный! Просто в трех переменных, а не в двух. Точнее, конические поверхности - это «вырожденные гиперболоиды », такие как
$$x^2 + y^2 - z^2 = 0.$$
Коническое сечение соответствует пересечению конуса плоскостью $ax + by + cz = d$, что равносильно замене одной из трех переменных линейной комбинацией двух других плюс константа, которая дает квадратичную величину от двух переменных. Легче всего увидеть, что если$z$ заменяется константой $r$ тогда у нас получается круг $x^2 + y^2 = r^2$ (именно так можно прийти к приведенному выше уравнению; конус - это форма, срез которой $z = \pm r$ круг радиуса $r$). Аналогично, если$x$ или $y$ заменяется константой, получаем гиперболу.
Я не знаю, могу ли я представить полную картину того, почему квадратичные диаграммы намного легче понять, чем кубики и так далее. Возможно, проще всего сказать, что квадратичные формы тесно связаны с квадратными (симметричными) матрицами.$M$, поскольку их можно записать $q(x) = x^T M x$. И у нас есть множество инструментов для понимания квадратных матриц, все из которых затем можно использовать для понимания квадратичных форм, например спектральную теорему . Соответствующие объекты для кубических форм - это степень$3$ тензор, который труднее анализировать.
Может быть, довольно глупо сказать, что это $2$ особенный, потому что это наименьшее положительное целое число, которое не равно $1$. Итак, квадратичность - это простейшие нелинейные вещи и так далее.
Что такое конус?
Это твердое тело, так что каждое поперечное сечение, перпендикулярное его центральной оси, представляет собой окружность, а радиусы этих поперечных сечений пропорциональны расстоянию от вершины конуса.
Вот и все. поверхность конуса - это точки$(x,y,z)$ где $z = h= $ высота поперечного сечения $= r = $радиус поперечного сечения. И$(x,y)$ точки окружности радиуса $r = h = z$.
Поскольку уравнение круга $\sqrt{x^2 +y^2} = r$ или $x^2 + y^2 = r^2$ уравнение конуса $x^2 + y^2 = z^2$.
Каждое коническое сечение - это материя, пересекающая конус плоскостью. Самолет - это ограничение трех переменных, которые связаны ограничением$ax +by + cz= k$ и это вопрос выражения любой третьей переменной как линейной комбинации двух других.
Таким образом, поперечное сечение плоскости и конуса будет выводом уравнения 2 степени $x^2 = y^2 = z^2$где одна из переменных будет линейной комбинацией двух других. Другими словами, уравнение второй степени с двумя переменными.
Вот и все.
Конечно, настоящий вопрос в том, почему уравнение круга $x^2 + y^2 =r^2$? и почему это такое важное представление уравнения второй степени?
И это полностью из-за теоремы Пифагора. Если мы возьмем любую точку$(x,y)$ на самолете и рассмотрим три точки $(x,y), (x,0)$ и $(0,0)$они для трех вершин прямоугольного треугольника. Катушки этого треугольника имеют длину$x$ и $y$ и поэтому по теореме Пифагора гипотенуза будет иметь длину $\sqrt{x^2 + y^2}=h$ и это расстояние $(x,y)$ к $(0,0)$.
Теперь круг - это набор точек, в которых расстояние от $(x,y)$ к $(0,0)$ постоянное значение $r = h$. И так будут все точки$(x,y)$ где $\sqrt{x^2 + y^2} =r$.
Вот и все. Вот почему: расстояния связаны с прямоугольными треугольниками, прямоугольные треугольники связаны с уравнениями 2-й степени, круги связаны с расстояниями, конусы связаны с кругами, и все они связаны с уравнениями 2-й степени.
Вот и все.
Ближайшая причина в том, что конусы основаны на окружностях , а окружности, в свою очередь, задаются квадратным уравнением
$$x^2 + y^2 = r^2$$
. Теперь, что касается причины, по которой круги имеют это уравнение, то есть потому, что они связаны с функцией евклидова расстояния, являющейся набором всех точек на постоянном расстоянии от данного центра, здесь условно принимаемого за начало координат. Особенно,
$$d(P, Q) = \sqrt{|Q_x - P_x|^2 + |Q_y - P_y|^2}$$
Что касается того, почему евклидова метрика имеет такую форму, я бы сказал, что она сводится к следующему. Чтобы получить более подробное представление об этом, полезно рассмотреть несколько более общую форму показателей.
$$d_p(P, Q) := \left(|Q_x - P_x|^p + |Q_y - P_y|^p\right)^{1/p}$$
называется $p$-метрики, которые, по сути, являются результатом вопроса «ну а что будет, если мы позволим степени не равняться 2?», и поэтому как раз подходят для ответа на этот вопрос.
И оказывается что $d_2$имеет особенное свойство. Это единственный объект, для которого вы можете взять геометрический объект, объявить точку на нем осью, затем взять любую другую точку на этом объекте и пометить ее, измерить расстояние от точки поворота до точки тега и теперь преобразовать этот объект. Таким образом, центр остается фиксированным, в то время как точка метки обращена в другом направлении на том же расстоянии, и при этом общий размер и форма всего объекта остаются неизменными. Или, другими словами, такая вещь, как "вращение", имеет геометрический смысл как жесткое движение.
Итак, какова основная причина квадратичности конусов? Потому что в евклидовом пространстве вы можете вращать предметы как угодно, не меняя их размера и формы.
Есть статья Дэвида Мамфорда, которую может быть трудно читать в зависимости от вашего уровня подготовки.
Суть этой статьи состоит в том, чтобы сказать, что любую систему полиномиальных уравнений можно заменить (добавив больше переменных и больше уравнений) в систему квадратных и линейных уравнений.
Вероятно, можно обобщить это дальше, чтобы показать, что если полиномиальная система имеет параметры, то можно гарантировать, что эти параметры появляются только в линейных уравнениях.
Самым частным ранним случаем этого является тот, который вы упомянули.
Причина, по которой цифра «2» является особенной для физики, - это второй закон Ньютона, который связывает силу с ускорением (не скоростью), и это вторая производная. Ну, еще есть роль "2" в законах обратных квадратов.
Причина, по которой "2" является особенной в геометрии благодаря квадратичным формам от нескольких переменных, заключается в том, что квадратичные формы от нескольких переменных обладают некоторыми хорошими свойствами.
- Каждую квадратичную форму можно диагонализовать, чтобы удалить все перекрестные члены, так что вы можете сосредоточиться на случае диагональных квадратичных форм. $a_1x_1^2 + \cdots + a_nx_n^2$. (Строго говоря, это неверно для квадратичных форм над полями характеристики$2$, но вы не получите геометрической интуиции от характеристики $2$.) В отличие от этого, кубические формы не могут быть диагонализованы, даже $\mathbf C$. Например, кубическая форма$y^2z - x^3 + xz^2$ (нулевой набор которого в дегомогенизированной форме задается уравнением $y^2 = x^3 - x$) нельзя диагонализовать $\mathbf C$: см. мои комментарии здесь
Каждая неособая квадратичная форма имеет большую группу автоморфизмов благодаря построению отражений. Это называется ортогональной группой квадратичной формы. В отличие от этого, «ортогональная группа» однородного многочлена более высокой степени$f(\mathbf x)$ (что означает группу линейных преобразований $A$ с сохранением полинома: $f(A\mathbf x) = f(\mathbf x)$) часто конечен, например, единственные изометрии $x_1^n + \cdots + x_n^n$ для $n \geq 3$ перестановки координат и умножение координат на $n$корни единства.
В основе геометрии лежит концепция ортогональности, которая должна быть симметричным билинейным отношением: $v \perp w$ если и только если $w \perp v$, и если $v \perp w$ и $v \perp w'$ тогда $v \perp (ax + a'w')$ для всех скаляров $a$ и $a'$. Это предлагает посмотреть на билинейные формы$B(v,w)$ в векторном пространстве и спрашивая, когда отношение $B(v,w) = 0$ (абстрактная версия "$v \perp w$") симметричен. Оказывается, это происходит тогда и только тогда, когда $B$симметричный или чередующийся. Первый случай вне характеристики$2$, тесно связанный с изучением квадратичной формы $Q(v) = B(v,v)$.
Номер индекса 2 является особенным в связи со способом определения углов на расстоянии.
Существует множество возможных функций (норм) расстояния, которые можно определить, но большинство из них не позволяет определять углы согласованным образом. Углы определяются из внутреннего продукта (скалярного произведения), и это определяется только в том случае, если норма подчиняется квадратичному выражению$$||u+v||^2+||u-v||^2=2||u||^2+2||v||^2$$ для любых векторов $u$ и $v$.
В пространстве с другой нормой поворотов меньше. Может быть только конечное число возможных поворотов круга или сферы. "Конус" в 3д$(x,y,z)$ определяется $||x+y||=||z||$ все еще может пересекаться плоскостями, и найдено семейство (неквадратичных) кривых.
В обычной геометрии углы определены, поэтому существует квадратичное выражение, которому должны удовлетворять длины.