Какое значение составляет минимальную длину доверительного интервала?
Случайная величина $X$ следует $$f(x|\theta)=\frac{1}{2}e^{-|x-\theta|} \quad -\infty<x<\infty$$
Считаю доверительным интервалом $\theta$, $S(X)=[X-b,X+c]$.
Когда я устанавливаю уровень уверенности на $1-\alpha$, каковы значения $b$ и $c$ что делает минимальную длину доверительного интервала $d=b+c$?
Что я нашел
В предыдущем вопросе задавался вопрос о вероятности $${\theta-c \leq X \leq \theta +b}$$
и я легко получил ответ $$\int_{\theta -c }^{\theta+b } f(x|\theta) dx=\frac{1}{2}(e^b-e^c)$$
Думаю, нужен ли мне доверительный интервал $/theta$, Мне нужно установить $$P(X-b\leq\theta\leq X+c)>1-\alpha$$ но я не знаю PDF $\theta$. Вот где я застрял.
Может кто-нибудь мне помочь?
Ответы
Поскольку предоставленный вами PDF-файл является условным PDF-файлом X при заданном θ, можно получить доверительный интервал (CI) X при заданном θ, но не CI для θ.
Напротив, если PDF для f (θ | x) задается тем же выражением, то кратчайший CI для θ может быть получен как S (x) = [x + ln (alfa) x-ln (alfa)].
В вашем вероятностном результате есть ошибка (которая должна быть ясна из-за того, что она неограничена). Используя интервал$\text{CI}(X) = [X-b, X+c]$ у вас должна быть вероятность покрытия:
$$\begin{align} \mathbb{P}(\theta \in \text{CI}(X)) &= \mathbb{P}(X-b \leqslant \theta \leqslant X+c) \\[6pt] &= \mathbb{P}(\theta-c \leqslant X \leqslant \theta+b) \\[6pt] &= \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} \text{Laplace}(x|\theta,1) \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} e^{-|x-\theta|} \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \ \int \limits_{\theta}^{\theta+b} e^{-x+\theta} \ dx - \int \limits_{\theta}^{\theta+c} e^{-x+\theta} \ dx \Bigg] \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ (1-e^{-b}) - (1-e^{-c}) \Bigg] \\[6pt] &= \frac{e^{-c} - e^{-b}}{2}. \\[6pt] \end{align}$$
(Обратите внимание, что, в отличие от вашего результата, он приближается к одному, когда $b \rightarrow \infty$ или же $c \rightarrow \infty$.) Таким образом, для нахождения оптимального доверительного интервала этой формы необходимо решить следующую задачу оптимизации:
$$\text{Minimise } b+c \quad \text{ subject to } \quad e^{-c} - e^{-b} = 2(1-\alpha).$$
Немного поработав, вы сможете показать, что оптимум достигается, когда $b=c$, так что оптимальный доверительный интервал равен единице со средней точкой в $x$. Это неудивительно, учитывая, что распределение Лапласа симметрично относительно среднего параметра$\theta$.