Каждый элемент $\mathbb{R}$ членом $\mathbb{Q}$ примыкает к конечному числу членов своего базиса трансцендентности?

Question

Недавно я был заинтересован в создании несколько неконструктивных решений проблем с использованием концепции базиса трансцендентности из$\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$, который существует в предположении Аксиомы выбора, но я знаю лишь некоторую базовую теорию поля. В рамках моего растущего понимания я спрашиваю:

Позволять $W$ быть основой трансцендентности для $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$. Это правда, что$$\mathbb{R} = \bigcup_{w\subset W, \;w \text{ finite}}\mathbb{Q}(w)$$? Что, если мы заменим «конечное» на «счетное»?

Answer 1

Возможно, мне что-то не хватает, но, цитируя, например, этот пост MSE :

множество $T$ элементов поля расширения $k/F$является базисом трансцендентности, если

1. для всех $n$, и отличные $t_{1}, \dots, t_{n} \in T$, ненулевого многочлена не существует $f(X_1,\dots,X_n)\in F[X_1,\dots,X_n]$ такой, что $f(t_1,\dots,t_n)=0$;
2. $k$ алгебраичен над $F(T)$.

Итак, такой элемент, как $\sqrt{2}$ не будет ни в одном из ваших $\mathbb{Q}(w)$.

Answer 2

Редактировать . Это неверный ответ. Я читаю «базис трансцендентности» как «базис векторного пространства». Я думаю, что ответ @AndreasCaranti правильный. Я оставлю свой, чтобы никто не совершил такую ​​же ошибку.

---

Да, поскольку каждый элемент $\mathbb{R}$ конечный $\mathbb{Q}$-линейное сочетание базовых элементов. Это означает, что он находится в объединении соответствующих расширений.