Кинетика одновременного параллельного радиоактивного распада

Aug 16 2020

Вопрос:

Радиоактивный изотоп A подвергается одновременному распаду на разные ядра следующим образом: \ begin {array} {cc} \ ce {A-> P} & \, (t_ {1/2} = 9 \ \ mathrm h) \\ \ ce {A-> Q} & \, (t_ {1/2} = 4.5 \ \ mathrm h) \ end {array}

Предполагая, что изначально ни P, ни Q не присутствовали, через сколько часов количество Q увеличится вдвое по сравнению с количеством оставшегося A?

Мое решение:

Я получил $t_{1/2}$ за $A$ в виде $T=\dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2}\ =\pu{ 3 h}$

Теперь из закона Резерфорда-Содди количество атомов, оставшихся после$n$ период полураспада,

$$N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^n$$

и количество периодов полураспада $n=\dfrac{\text{Total time of Decay}}{\text{effective half life}}$

Для изотопа $A$, $\dfrac{N_A}{N_{0_A}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/3}$ где $T$ обычное время распада для $\mathrm A$ и $\mathrm Q$

За $\mathrm Q$ Я должен был предположить, что $\mathrm Q$ также подвергается радиоактивному распаду, чтобы сформировать связь между $\mathrm A$ и $\mathrm Q$

Теперь используя ту же формулу, что и выше $\dfrac{N_\mathrm Q}{N_{0_\mathrm Q}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/4.5}=\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T/9}$

Теперь применив условие в вопросе, $$\left (\frac{1}{2}\right)^{2T/9}=2\cdot \left (\dfrac{1}{2}\right)^{T/3} $$

Повышение силой $9$ с обеих сторон,

$$\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T}=2^9\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{3T}$$

что означает,

$$ 2^{-2T}=2^{9-3T}$$

Следовательно,

$$9-3T=-2T$$ $$ {\bbox[10px, border:2px solid red]{ T=9\ \mathrm h. }} $$

Хотя у меня есть ответ, и он удовлетворяет условию, я все же считаю его неправильным из-за предположения, сделанного для $\mathrm Q$ и что-то еще нужно было сделать, чтобы установить связь между $\mathrm A$ и $\mathrm Q$ Более того, в вопросе указано, что изначально ни $\mathrm P$ ни $\mathrm Q$ присутствовал, и я предполагаю, что это предположение нарушает это.

Ответы

6 Yashwini Aug 16 2020 at 17:52

Параллельные или побочные реакции первого порядка: Концепция

$$\require{cancel}\\ \ce{A ->[k_1] B} \ \ t=0\\ \ce{A ->[k_2] C} \ \ t=t$$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt}=k_1[A] + k_2[A] $$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt} = k_\text{eff} [A] \land k_\text{eff}=k_1+k_2$$

Действующий заказ = 1

$$\left(t_{1/2}\right)_\text{eff}=\frac {\ln 2}{k_\text{eff}} $$

$$\frac 1 {(t_{1/2})_\text{eff}}=\frac {1}{(t_{1/2})_{1}} + \frac {1} {(t_{1/2})_{2}} $$

$$A_\text{eff}\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}=(A_1+A_2)\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}$$

Дифференцировать в отношении $T$,

$${\frac{E_\mathrm a}{RT^2}}\cdot k_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1}{RT^2}+\frac{(E_\mathrm a)_2 k_2}{RT^2}$$

$$(E_\mathrm a)_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1 +(E_\mathrm a)_2 k_2}{k_\text{eff}}$$

$$[A]_\mathrm t=[A]_0\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$

$$a_t=a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\frac{\mathrm d[B]}{\mathrm dt}=k_1[A]=k_1a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\int\limits_{0}^{b_t}\mathrm d[B]=k_1 a_0 \int\limits_0^t\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}\,\mathrm dt$$

$$b_t=\frac{k_1 a_0}{-(k_1+k_2)}[\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}]_0^t$$

$$b_t=\frac{k_1 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}) $$

так же,

$$c_t=\frac{k_2 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})$$

$$\frac{[B]}{[C]}=\frac{k_1}{k_2}$$

  • доля $B=\frac{[B]}{x}=\frac {k_1}{k_1+k_2}$ [умножить на 100 для процента]
  • доля $C=\frac{[C]}{x}=\frac {k_2}{k_1+k_2}$ [умножить на 100 для процента]

Актуальная проблема

\begin{align} &\ce{A->[\textit{k}_1]P} &k_1 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{9} \ \text{hr}^{-1} \\ &\ce{A->[\textit{k}_2]Q} &k_2 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{2 \ln2}{9}\ \text{hr}^{-1}\\ \end{align}

$$Q_t=\frac{k_2a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})=2A_t$$

$$\frac{k_2\cancel{a_0}}{k_1+k_2}\mathrm {(1-e^{-(k_1+k_2)t})}=2\cancel{a_0}\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\frac{\cancel 2}{3}(1-\mathrm e^{-k_\text{eff}t})=\cancel 2\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$

$$\mathrm e^{-k_\text{eff}t} = \frac {1} {4}$$

$$\implies k_\text{eff}t = \ln 4 = \frac {3\ln 2}{9} t$$

$$\implies t= 6\mathrm h$$

Это дает ответ как 6 часов.

9 Safdar Aug 16 2020 at 18:50

Вопрос уже решен Яшвини, и ответ правильный.$^2$ Далее следует более интуитивное и конкретное объяснение вопросов.

Вот две приведенные реакции:

\ begin {array} {cc} \ require {cancel} \ ce {A -> P} & (t_ {1/2} = 9 \, \ mathrm h) \\ \ ce {A -> Q} & (t_ {1/2} = 4.5 \, \ mathrm h) \\ \ end {array}

Теперь, используя закон скорости, мы получаем,

\begin{align} -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm P [A] \tag{1} \\ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm Q [A] \tag{2} \\ \end{align}

Константа скорости реакции первого порядка с периодом полураспада $t_{1/2}$ определяется как:

$$k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \tag{3}$$

Теперь, подставляя заданные значения $t_{1/2}$ в уравнения, получаем $2k_\mathrm P = k_\mathrm Q$ (поскольку $k\, \alpha \frac{1}{t_{1/2}})$

Теперь, интуитивно, поскольку обе реакции протекают вместе, это будет означать, что на каждый моль образовавшегося P образуется два моля Q. Следовательно, на каждый моль образовавшегося P реагируют три моля A (поскольку на каждый моль P и Q требуется один моль).

Теперь мы добавляем законы скорости ($1$) и $(2)$, поскольку реакции происходят одновременно, чтобы получить:

$$-\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}=(k_\mathrm P +k_\mathrm Q) [A] \tag{4} $$

Теперь, поскольку используя соотношение между $k_\mathrm{P}$ и $k_\mathrm{Q}$, мы получили $k_\mathrm{P} + k_\mathrm{Q} = 3k_\mathrm{P}$

Следовательно, используя интегрированный закон скорости для реакции первого порядка по уравнению $(4)$, мы получили:

$$A=A_0e^{-3k_\mathrm Pt} $$

Теперь количество $A$ здесь будет $A_0 -A$, и мы получаем это значение:

$$A_\text{used}=A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)$$

Как мы уже отмечали ранее, на каждые три используемых моля A образуется два моля Q. Это означает, что количество Q сейчас в смеси будет составлять две трети от$A_\text{used}$. Следовательно, количество Q будет:

$$Q=\frac{2A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3}$$

Теперь нам дано условие, $Q = 2A$, подставляя значения $Q$ и $A$ в данное отношение получаем:

$$\begin{align} \frac{\cancel{2A_0}\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3} &= \cancel{2A_0}\left(e^{-3k_\mathrm Pt}\right) \\ \implies 1 -e^{-3k_\mathrm Pt} &= 3e^{-3k_\mathrm Pt} \\ \implies 4e^{-3k_\mathrm Pt} &= 1 \end{align}$$

Решение для $t$, мы получили:

\begin{align} 3k_\mathrm Pt&=2\ln 2 \\ \\ t&=\frac{2\ln 2}{3k_\mathrm P}\\ \end{align}

Теперь, используя уравнение $(3)$, получаем константу скорости $k_\mathrm P$ быть $\frac{\ln 2}{9}$. Подставляя это значение в выражение для времени, получаем:

$$t=\frac{2 \cancel{\ln 2}}{\cancel{3} \frac{\cancel{\ln 2}}{\cancelto{3}{9}}}$$

Следовательно, время, необходимое для возникновения этого состояния:

$$t=2\times 3 = 6\ \mathrm h$$