Можем ли мы добиться сохранения количества движения без сохранения энергии?
Согласно теореме Нётер, если гамильтониан инвариантен относительно сдвигов в данном направлении, то соответствующий импульс сохраняется. И если гамильтониан не зависит от времени, то полная энергия сохраняется.
Следуя этой логике, должно быть возможно иметь гамильтониан, инвариантный относительно сдвига, но не инвариантный во времени, например $H(p,q,t) = p^2/2 + V(t)$ где $V$ какая-то функция только $t$. Тогда импульс, но не энергия, будет сохраняющейся величиной. Должно ли это быть парадоксальным или неожиданным, или это просто банальное следствие того, как мы определяем гамильтониан? И имеет ли такое свойство какое-либо отношение к реальным проблемам?
Ответы
Просто добавляем функцию $V(t)$ к гамильтониану ничего не делает - уравнения движения включают только производные гамильтониана по $q$ а также $p$, и поэтому это ничего не меняет в системе, вы просто выбрали для нее более странный гамильтониан. Энергия все еще сохраняется, просто она больше не такая, как значение гамильтониана.
Теорема Нётер не об инвариантности гамильтониана , а об инвариантности действия , и в действии добавление чистой функции времени к подынтегральному выражению является добавлением полной производной по времени (неопределенного интеграла добавленной функции ), который не меняет поведения (не) дисперсии, о котором заботит теорема Нётер.
Если вам действительно нужна система, в которой сохраняется импульс, а энергия - нет, вам нужно добавить функцию $V(p,t)$ импульса и времени здесь, но системы реального мира обычно так не работают - почти все полезные гамильтонианы имеют вид $p^2 + V(q,t)$ вместо этого, где $V(q,t)$ - потенциал возможно изменяющегося во времени силового поля.
Если у вас более одной должности $q^i$, то вы также можете построить изменяющийся во времени, но сохраняющий импульс гамильтониан, добавив функцию $V(\lvert q^i - q^j\rvert, t)$к гамильтониану. На самом деле я никогда не видел, чтобы это делалось, но игрушечным примером могут быть два устройства, которые со временем заряжаются - кулоновская сила между ними будет иметь такую форму. Энергия не сохраняется, так как происходит приток заряда и, следовательно, электрический потенциал, но импульс сохраняется, поскольку это всего лишь два тела, притягивающие / отталкивающие друг друга без участия других сил.