Можем ли мы определить $z^{\frac{1}{2}}$ как голоморфную функцию на $\mathbb{C}\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$?

Question

Рассматривать $$z^{\frac{1}{2}}:=e^{\frac{1}{2}(\log|z|+iarg(z))}.$$

Мы видим, например, что $z^{\frac{1}{2}}$ можно определить как голоморфную функцию вблизи $z=\frac{1}{2}$, выбрав очень небольшой район $z=\frac{1}{2}$, и определите соответствующий $arg(z)$ чтобы там было непрерывно.

Мой вопрос: может $z^{\frac{1}{2}}$ рассматривать как голоморфную функцию на $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$? Вот$D$ это единичный диск в $\mathbb{C}$.

Под голоморфной функцией я подразумеваю отображение$f:D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.\rightarrow \mathbb{C}$ удовлетворяет уравнению Коши-Римана на $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$.

Как указано ниже , мы видим, что ответ на мой вопрос отрицательный. Я хотел бы рассмотреть следующий дополнительный вопрос:

Дополнительный вопрос : аналогичный вопрос, но на этот раз мы рассматриваем домен$D\left\backslash B(0,\epsilon) \right.$, для очень маленького $\epsilon$.

Answer 1

Нет, это невозможно. Эта функция была бы ограничена в проколотой окрестности точки$0$, что сделало бы $0$ устранимая особенность $z^{\frac{1}{2}}$. Но потом$0$ также была бы устранимой особенностью производной $\frac{1}{2z^{\frac{1}{2}}}$, который не может иметь устранимой особенности при $0$ потому что он не ограничен проколотым районом.