Можно ли решить это уравнение с помощью W-функции Ламберта?

Aug 16 2020

Я столкнулся с уравнением, которое нужно было решить, когда работал над школьным проектом. Я пробовал использовать Ламберт$W$функция для решения следующего уравнения, но мне это не удалось. Можно ли вообще решить$x$ без численных методов?

$$ ax+(bx-c)e^{kx}=d $$

Ответы

RobertIsrael Aug 16 2020 at 23:18

В общем случае не представляется возможным решить эту проблему с помощью Ламберта В. Это было бы возможно, если бы $a$ или же $b$ было $0$.

Вы можете попробовать серийное решение, если один из параметров можно считать малым. Таким образом, серия в степенях$k$ является

$$ x = {\frac {c+d}{a+b}}+{\frac { \left( c+d \right) \left( ac-db \right) }{ \left( a+b \right) ^{3}}}k+{\frac { \left( c+d \right) \left( 3\,a c+ad-bc-3\,db \right) \left( ac-db \right) }{2\, \left( a+b \right) ^ {5}}}{k}^{2}+\ldots $$

ClaudeLeibovici Aug 17 2020 at 12:24

С формальной точки зрения вы можете это сделать.

Перепишем уравнение в виде $$e^{-kx}=-\frac ba \,\,\frac{x-\frac{b}{c}} {x-\frac{d}{a} }$$которая имеет решение в терминах обобщенной функции Ламберта .

Просто взгляните на уравнение $(4)$ в связанной статье.

Это приятно, но не очень полезно с практической точки зрения.

Поскольку вам понадобится численный метод, вам нужно при оценке найти нуль (а) функции

$$f(x)=ax+(bx-c)e^{kx}-d$$. Первая производная$$f'(x)=a+e^{k x} (b k x+b-c k)$$ он отменяется в $$x_*=\frac{W\left(t\right)}{k}+\frac{c}{b}-\frac{1}{k}\qquad \text{where} \qquad t=-\frac{a }{b}e^{1-\frac{c k}{b}}$$ Если $x_*$существует, выполните разложение Тейлора вокруг этой точки, чтобы получить оценку $$x_0=x_* \pm \sqrt{-2 \frac {f(x_*)}{f''(x_*)}}$$

Давайте попробуем с $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$, $k=5$.

Это даст $$x_*=\frac{1}{10} \left(2 W\left(-\frac{1}{2 e^{13/2}}\right)+13\right)\approx 1.29985$$

потом $x_0=1.58434$ а точное решение $x=1.50069$.

Поскольку у нас есть $x_0$, давайте посмотрим на итерации метода Ньютона; Они будут$$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 1.58434 \\ 1 & 1.52533 \\ 2 & 1.50339 \\ 3 & 1.50072 \\ 4 & 1.50069 \end{array} \right)$$