Мультипликативная система кольца и категории
Если A - любая категория, класс морфизмов$S$в A называется мультипликативной системой, независимо от того,$(a)$ закрывается по составу, то есть: $id_X$ в $S$ для каждого $X$в А и когда$f$ и $g$- морфизмы в A такие, что композиция$gf$ имеет смысл, тогда $gf$ в $S$; $(b)$ любая диаграмма вида $X\overset{f}\longrightarrow Y \overset{s}\longleftarrow Z$ с участием $s$ в $S$ можно дополнить как $\require{AMScd}$ \ begin {CD} W @> g >> Z \\ @VtVV @VVsV \\ X @ >> f> Y \ end {CD} с$t$ в $S$. То же самое и с перевернутыми стрелками. В конце концов$(c)$ для пары морфизмов $f,g:X\to Y$ Существует $s$ в $S$ с участием $sf=sg$ тогда и только тогда, когда существует $t$ в $S$ с участием $ft=gt$.
Мой вопрос: совпадает ли это определение с понятием мультипликативно замкнутого множества для любого кольца?$R$ если мы посмотрим на $R$как Ab -категорию с одним объектом? Конечно условие$(a)$ обеспечивает именно то, что мы желаем для мультипликативно замкнутого множества (то есть подмножества $S\subseteq R$ такой, что $1\in S$ и $x,y\in S\Rightarrow xy,yx\in S$), и если $R$ коммутативен, $(b)$ и $(c)$ становятся очевидными, но в случае некоммутативного кольца я не могу найти доказательства этих условий.
Может ли кто-нибудь предоставить доказательства или контрпример? Если ответом является контрпример, то есть ли какая-то серьезная причина, по которой это работает только в коммутативном случае, или же понятие мультипликативной системы было разработано только для обобщения этих случаев?
Ответы
Да, совпадает, но довольно тривиально (в коммутативном случае).
Смотрите ваше (коммутативное унитальное) кольцо $R$в качестве категории следующим образом. В$R$-модульное действие $R$ сам по себе вызывает морфизм $\iota: R \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(R,R)$, поэтому мы можем рассматривать категорию с одним объектом (а именно $R$) и множество морфизмов $\iota(R)$. Тот факт, что это формирует$\mathbf{Ab}$-категория является частью аксиом кольца. Вам нужно, чтобы кольцо было единым для присутствия тождественного морфизма, а коммутативность дает вам другие аксиомы. Например, если вам дан$\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R @ <s << R \ end {CD} вам в основном даются два элемента исходного кольца$R$. Диаграмму легко дополнить, если предположить, что$R$ коммутативен, поскольку $sf = fs$ приводит к коммутативной диаграмме $\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R \\ @VsVV @VVsV \\ R @ >> f> R \ end {CD} Утверждение (c) доказывается аналогично, если взять$t=s$. Я не знаю о локализации некоммутативных колец на подмножествах$S$ в общем, но я готов поспорить, что если бы эти идеи имели смысл, то локализация $S^{-1}R$ будет существовать, когда $R$некоммутативна в частном случае, когда эти категориальные аксиомы выполняются, но не в общем. Я прочитал это, чтобы немного узнать о некоммутативной локализации, и это не так вдохновляет, как коммутативный аналог.
Надеюсь, это поможет,