Нахождение множества всех возможных значений функции, аналогичной неравенству Несбитта
Позволять $x,$ $y,$ $z$быть положительными действительными числами. Найдите множество всех возможных значений$$f(x,y,z) = \frac{x}{x + y} + \frac{y}{y + z} + \frac{z}{z + x}.$$
Это кажется очень похожим на неравенство Несбитта, в котором я провел некоторое исследование этой проблемы, чтобы найти. Несбит утверждает, что для положительного реального$a, b, c,$ тогда $$\displaystyle\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}.$$Однако я отмечаю, что функция, указанная в задаче, не ориентирована на применение функции Несбитта, а просто похожа. Я не могу продвинуться в решении этой проблемы, так как я пытался объединить знаменатели в одну большую дробь, а также заменить переменные, чтобы попытаться очистить знаменатели. Буду признателен за помощь в решении этой проблемы.
Ответы
я думаю $1 < f(x,y,z) < 2.$ Действительно, потому что $$\frac{x}{x+y} \geqslant \frac{x}{x+y+z}.$$ Равенство наступает, когда $x = 0$ или же $z = 0.$
Следовательно $$f(x,y,z) \geqslant \frac{x+y+z}{x+y+z} = 1.$$ Но $x,y,z$ положительные действительные числа, поэтому $f(x,y,z) > 1.$
Другой $$\frac{x}{x+y} < \frac{x+z}{x+y+z},$$ эквивалентно $$\frac{yz}{(x+y)(x+y+z)}\geqslant 0.$$ Равенство наступает, когда $yz=0.$ Так $$f(x,y,z) < \frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2.$$