Наибольшее целое число меньше или равно $\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}$

Aug 17 2020

Это вопрос для поступления в аспирантуру TIFR 2020. Этот вопрос требует четкого ответа. Я знаю, что частичные суммы вычисляются с использованием формулы Абеля в теории чисел, но я считаю, что для серий такой формы могут быть более эффективные методы. Кто-нибудь может поделиться своими мыслями?

Ответы

8 StinkingBishop Aug 17 2020 at 16:35

Сравните сумму с соответствующими определенными интегралами:

$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}>\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=\frac{4}{3}\cdot 999=1332$

Также:

$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}<\sum_{n=1}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}=1+\sum_{n=2}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}<1+\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=1+\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=1+\frac{4}{3}\cdot 999=1333$

Итак, сумма находится между $1332$ и $1333$ и поэтому его неотъемлемая часть $1332$.

4 Dr.Mathva Aug 17 2020 at 16:33

Подсказка: рассмотрите функцию$f(x):=\frac43\cdot x^{\frac34}$ и используйте теорему о среднем значении, чтобы вывести, что $$\frac{1}{\sqrt[4]{r+1}}=f'(r+1)<\frac{f(r+1)-f(r)}{r+1-r}<f'(r)=\frac1{\sqrt[4]{r}}\iff\fbox{$\ Displaystyle \ frac {1} {\ sqrt [4] {r + 1}} <f (r + 1) -f (r) <\ frac1 {\ sqrt [4] {r}}$}$$ Теперь вы можете суммировать и использовать тот факт, что телескопировать можно почти все.

1 fleablood Aug 17 2020 at 21:31

Вот еще один способ обдумать ответ вонючих епископов. Это производный ответ, точно такой же, как у Stinking Bishop. Я просто прищуриваюсь и смотрю на это под другим углом.

$c_1=\frac 1{(n+1)^{\frac 14}} \le \frac 1{x^{\frac 14}} \le \frac 1{n^{\frac 14}}=c_2$

$c_1 \le \inf_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le \sup_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le c_2$

$\int_{n}^{n+1} c_1dx \le \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \int_n^{n+1} c_2 dx$

В настоящее время $\int_a^b C dx = C[b-a]$ так $\int_{n}^{n+1} c_1dx=c_1= \frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ и $\int_n^{n+1} c_2 dx=\frac 1{n^{\frac 14}}$ так

$\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}= \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \frac 1{n^{\frac 14}}$

$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}\le \sum\limits_{n=1}^{9999} \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx=\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx\le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$

Как указано $\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx= 1332$

Но также обратите внимание

$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ может быть переиндексирован как $\sum\limits_{n=2}^{10000}\frac 1{n^{\frac 14}}$ что равно $\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}} + \frac 1{10000^{\frac 14}} - \frac 1{1^{\frac 14}}= \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9$.

Итак, у нас есть

$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9\le 1332 \le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$

И легко проверить, что если $M - 1< M-0.9 \le n \le M$ тогда $M< n+1 \le M+1$ и другие $n\le M< n+1$ так $\lfloor M\rfloor=n$.

Так $\lfloor \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}\rfloor =1332$.