Найдите функцию $f$ такой, что $\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ существует, но $ \lim_{x\to{}0}{f(x)}$не. [дубликат]

Question

Контекст:

Я освежаю некоторые анализы и в настоящее время выполняю упражнения из книги М. Спивака «Исчисление», особенно в главе 5 о пределах. Все шло хорошо, пока я не столкнулся с этим вопросом. Я долго думал об этом, но безуспешно.

Вопрос: «Приведите пример, где$\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ существует, но $\lim_{x\to{}0}{f(x)}$ не."

Мои попытки:

Предыдущий вопрос показал, что $\lim_{x\to{}0}{f(x^3)}=\lim_{x\to{}0}{f(x)}$, который, как мне кажется, работает, потому что мы можем найти корень третьей степени из любого действительного числа (что было полезно в эпсилон-дельта-доказательстве для него). Это заставляет меня думать, что это неверно, потому что мы не можем извлекать квадратный корень из отрицательных вещественных чисел. Это заставило меня поиграть с функциями, включающими$\sqrt{x}$ и использование его «неопределенности» на негативе.

Я начал с $f(x)=\sqrt{x-1}$ который явно имеет неопределенный предел на $0$. Но это, конечно, ничем не отличается (учитывая предел на$0$ то есть) $f(x^2)$.

Есть подсказки? Мне кажется, я упускаю из виду такую ​​простую вещь.

Answer 1

$$\begin{align}f\colon \Bbb R\setminus\{0\}&\to \Bbb R\\x&\mapsto \frac x{|x|}\end{align}$$

Answer 2

Я придумал другой пример, хотя и после того, как увидел ответ Хагона фон Эйтцена.

Мы можем выбрать $f(x)=\text{floor}(x)$.