Найдите сумму $\frac{7}{(2)(3)}( \frac 13) + \frac{9}{(3)(4)} (\frac 13)^2 + \frac{11}{(4)(5)} (\frac 13)^3..$ до 10 сроков

Question

Я нашел $n^{th} $ серии как $$\frac{5+2n}{(1+n)(2+n)} (\frac 13)^{n}$$

Имеет $\frac 13 $ и $5+2n$ не было бы, это была бы телескопическая серия

Точно так же $(1+n)(2+n)$ термина не было, это была бы арифметическая геометрическая прогрессия.

Я умею оценивать их по отдельности, но не одновременно

Как мне решить эту проблему?

Answer 1

Сделайте частичное расширение фракции:

$$\frac{5+2n}{(1+n)(2+n)}=\frac{3}{(1+n)}-\frac{1}{(2+n)}$$

Умножение на $(\frac 13)^{n}$ дает:

$$\frac{1}{(1+n)}(\frac 13)^{n-1}-\frac{1}{(1+(n+1))}(\frac 13)^{n}$$

давая действительно телескопическую сумму.