Необходимые (и достаточные) условия для того, чтобы следующее матричное произведение было симметричным положительно определенным?
Исправить некоторые $n\times n$ симметричная положительно определенная матрица $A$. Рассмотрим следующий матричный продукт,
$$B = AC$$
где $C$ произвольный $n\times n$матрица. Данный$A$, Хотелось бы знать, известны ли необходимые и достаточные условия на все квадратные матрицы $C$ такая, что полученная матрица $B$также симметричный положительно определенный? Меня больше интересует (если возможно) необходимые условия.
Редактировать:
Меня интересуют только реальные матрицы.
Ответы
Если $C$ положительно определенная вещественная матрица, коммутирующая с $A$ тогда $AC = C^{1/2}AC^{1/2}$что положительно определено. Так что это, безусловно, достаточное условие.
Однако это далеко не обязательно. Считают, что$$ \left[\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 4 \\ 4 & 8\end{matrix}\right]. $$
Я не уверен, что будет хорошее условие, полностью описывающее такие $C$.
Одно из необходимых условий: $$ AC = (AC)^T = C^TA \ \ \ \ \textrm{or} \ \ \ ACA^{-1} = C^T $$ Если вдобавок $C$ симметричен, то он коммутирует с $A$ а потом $A^{1/2}CA^{1/2} = AC > 0$ откуда следует, что $C$ положительно определен, поскольку $A^{-1}$ тоже положительный.
Вряд ли полный ответ, но это все, что у меня есть.