Обратная метрика для 3 + 1 разложения

Question

Я пытался прочитать о 3 + 1 разложении пространства-времени из раздела 12.2 книги Падманабхана «Основы гравитации и границы». Однако другие источники также могут предоставить контекст для моего вопроса.

Как только система координат $(t,y^\alpha)$ был принят на пространстве-времени из слоения, $x^a=x^a(t,y^\alpha)$, то мы можем написать (также в книге используется соглашение $a=0,1,2,3$; $\alpha=1,2,3$ или латинские индексы представляют собой пространство-время, а греческие индексы - только пространство), \begin{align} dx^a&=\frac{\partial x^a}{\partial t}dt+\frac{\partial x^a}{\partial y^\alpha}dy^\alpha\nonumber\\ &=t^adt+e^a_\alpha dy^\alpha\nonumber\\ &=\left(Nn^a+N^\alpha e^a_\alpha\right)dt+e^a_\alpha dy^\alpha\nonumber\\ &=\left(Ndt\right)n^a+\left(N^\alpha dt+dy^\alpha\right)e^a_\alpha \end{align} Где мы использовали тот факт, что касательная к кривым, параметризованная $t$ является $t^a=\partial x^a/\partial t=Nn^a+N^\alpha e^a_\alpha$; и$N$называется функцией задержки и$N^\alpha$называется вектором сдвига .$e^a_\alpha=\partial x^a/\partial y^\alpha$ являются касательными к гиперповерхности, называемыми тетрадами.

Элемент линии (в квадрате) теперь становится, \begin{align} ds^2&=g_{mn}dx^mdx^n\nonumber\\ &=g_{mn}\left[\left(Ndt\right)n^m+\left(N^\alpha dt+dx^\alpha\right)e^m_\alpha\right]\left[\left(Ndt\right)n^n+\left(N^\beta dt+dx^\beta\right)e^n_\beta\right]\nonumber\\ &=-N^2dt^2+h_{\alpha\beta}\left(dx^\alpha+N^\alpha dt\right)\left(dx^\beta+N^\beta dt\right), \end{align} Вот, \begin{align} h_{\alpha\beta}=g_{mn}e^m_\alpha e^n_{\beta}=g_{\alpha\beta}. \end{align} Показатель можно считать из указанного выше элемента строки, \begin{align} g_{00}=-N^2+N_\gamma N^\gamma,\quad g_{0\alpha}=N_\alpha,\quad g_{\alpha\beta}=h_{\alpha\beta} \end{align} В матричной форме \begin{align} g_{mn}=\begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \end{align}

У меня вопрос, как рассчитать обратную эту метрику?

Я пытался это сделать, но мне это не удалось, за исключением компонента $g^{00}$и я не уверен, верен ли этот вывод. Итак, позвольте мне описать этот процесс следующим образом.

Теперь, когда $\partial_a t=\delta^t_a=\delta^0_a$ в системе координат $(t,y^\alpha)$. Таким образом,\begin{align} g^{00}&=g^{ab}\partial_a t\partial_b t\nonumber\\ &=\frac{1}{N^2}g^{ab}n_an_b\nonumber\\ &=-N^{-2}. \end{align} Где я использовал тот факт, что векторы нормалей определены как $n_a=-N\partial_a t$ а нормализация для пространственноподобных гиперповерхностей такова, что $n^an_a=-1$.

В книге компоненты обратной метрики даны как \begin{align} g^{00}=-N^{-2},\quad g^{0\alpha}=N^{-2}N^{\alpha},\quad g^{\alpha\gamma}=h^{\alpha\gamma}-N^{-2}N^\alpha N^\gamma \end{align}

Поэтому ответ, который я ищу, - это пошаговый вывод обратной метрики с учетом компонентов метрики, а также необходимо проверить, соответствует ли мой расчет для $g^{00}$верно. Спасибо.

Answer 1

Позвольте мне сделать это раз и навсегда. Хотя спиридон ответил на этот вопрос, я хотел бы дать формальный вывод, поскольку ответ спиридона предполагает работу наугад. У нас есть ситуация, когда нам нужно вычислить обратную матрицу с разделами. Итак, давайте сначала выведем общую формулу для обращения к разделенным матрицам, а затем применим ее к метрике.

Пусть два неособых $n\times n$ матрицы $A$ и $B$ быть разбитым следующим образом, \begin{align} A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}. \end{align} Позволять $A_{11}$ и $B_{11}$ быть $k\times k$ матрицы с $k<n$. Мы также будем предполагать,\begin{align} \det (A_{11})\neq0;\quad\det (A_{22})\neq0. \end{align} Сейчас если $B=A^{-1}$, то найдем составляющие матрицы $B$ в терминах компонентных матриц $A$. У нас есть,\begin{align} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{k\times k} & O_{k\times n-k}\\ O_{n-k\times k} & I_{n-k\times n-k} \end{pmatrix} \end{align} Это матричное соотношение сводится к \begin{align} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&=I_{k\times k}\qquad &&(1)\\ A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}&=O_{k\times n-k}\qquad &&(2)\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&=O_{n-k\times k}\qquad &&(3)\\ A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}&=I_{n-k\times n-k}\qquad &&(4) \end{align} Из (2) и (3) имеем \begin{align} B_{12}=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}\\ B_{21}=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11} \end{align} Подставляя их в (1) и (4), получаем, \begin{align} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)B_{11}&=I_{k\times k}\\ \left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)B_{22}&=I_{n-k\times n-k} \end{align} Следовательно, \begin{align} B_{11}&=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\\ B_{22}&=\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{align} Теперь подставляя их в (2) и (3), получаем, \begin{align} B_{12}&=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}=-A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ B_{21}&=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} \end{align} Следовательно, \begin{align} B=A^{-1}=\begin{pmatrix} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{pmatrix} \end{align} Для наших целей было бы удобно расширить, $\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}$в терминах матричного тождества Вудбери . Во-первых, давайте вывести личность. Обратите внимание, что,\begin{align} U+UCVM^{-1}U=UC\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)=\left(M+UCV\right)M^{-1}U \end{align} Из этого следует, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}UC=M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}, \end{align}учитывая, что все необходимые обратные существуют! Потом,\begin{align} M^{-1}&=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(M+UCV\right)M^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(I+UCVM^{-1}\right)\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+\left(M+UCV\right)^{-1}UCVM^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align} Таким образом, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}=M^{-1}-M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align}Вышеупомянутое тождество называется матричным тождеством Вудбери . Теперь, определяя$M=A_{22}$, $U=-A_{21}$, $C=A_{11}^{-1}$ и $V=A_{12}$, мы получили, \begin{align} \left(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\right)^{-1}=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}. \end{align} Таким образом, окончательно имеем \begin{align} A^{-1}= \left( \begin{array}{c|c} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ \hline -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \end{array} \right) \end{align}После вывода этой общей формулы вернемся к вычислению обратной метрики. У нас есть,\begin{align} g_{mn}= \left( \begin{array}{c|c} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha \\ \hline N_{\alpha} & h_{\alpha\beta} \end{array} \right) \end{align} В настоящее время, \begin{align} A_{11}=-N^2+N_\gamma N^\gamma, \quad A_{12}=N_\alpha,\quad A_{21}=N_\alpha,\quad A_{22}=h_{\alpha\beta}. \end{align} Отметим также, что, $A_{22}^{-1}=(h_{\alpha\beta})^{-1}=h^{\alpha\beta}$. Потом,\begin{align} g^{00}=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}=(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=-N^{-2}, \end{align} и \begin{align} g^{\alpha 0}&=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\nonumber\\ &=-h^{\alpha\beta}N_\beta(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=N^{-2}N^\alpha=g^{0\alpha}, \end{align} и наконец, \begin{align} g^{\alpha\beta}&=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\ &=h^{\alpha\beta}+h^{\alpha\gamma}N_\gamma\left(-N^2+N^\sigma N_\sigma-N_\xi h^{\xi\mu}N_\mu\right)^{-1}N_\rho h^{\rho\beta}\nonumber\\ &=h^{\alpha\beta}-N^{-2}N^\alpha N^\beta \end{align}Вуаля! Наслаждайтесь!

Answer 2

Что ж, может быть есть более понятный способ сделать это, без каких-либо догадок. Я бы начал с определения обратной матрицы:$$ g^{\mu \alpha} g_{\alpha \nu} = \delta_{\nu}^{\mu} $$ Или более конкретно: $$ \begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^{00} & g^{0 \alpha}\\ g^{0 \alpha} & g^{\alpha \beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Написано в компонентах: $$ \begin{align} (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{00} + N_\alpha g^{0 \alpha} = 1 \\ (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{0\alpha} + N_\beta g^{\beta \alpha} = 0 \\ N_\alpha g^{0\beta} + h_{\alpha \gamma} g^{\gamma \beta } = \delta_\alpha^{\beta} \end{align} $$ Теперь, используя симметрию $g_{\mu \nu}, h_{\mu \nu}$ при обмене $\mu \leftrightarrow \nu$, можно увидеть, что есть $ D(D+1) / 2$ линейные уравнения на такое же количество неизвестных, которые в принципе могут быть решены.

Выполнение этих действий напрямую кажется утомительным занятием, так что это может быть обоснованное предположение. Предположим, мы знали, что$g^{00}$ является $-N^2$, в общем анзац может быть $\alpha N^2 + \beta N_\alpha N^{\alpha}$, то первое уравнение немедленно решается установкой: $$ g^{0 \alpha} = N^{-2} N^{\alpha} $$Тогда можно посмотреть на вторую строку. Здесь также естественно предположить, что$g^{\mu \nu} = h^{\mu \nu} + b^{\mu \nu}$, где $b^{\mu \nu}$также симметричен. Эта замена дает:$$ -N^{\alpha} - N^{-2} N_\gamma N^\gamma N^{\alpha} + N^{\alpha} + N_\beta b^{\beta \alpha} = 0 $$ Здесь также видно, что $b^{\mu \nu} = -N^{-2} N^{\beta} N^{\alpha}$ делает свою работу.

Answer 3

Этот ответ немного расширяет ответ спиридона и перефразирует части настройки OP на несколько другом языке.

Обратная метрика $g^{-1}$, будучи тензором, не зависит от координат. Таким образом, один из способов определить компоненты обратной метрики в конкретной системе координат - это вывести ее из координатно-независимого представления. А именно, если обратная метрика в базисе$\{{\bf e}_a\}$ дан кем-то $$ g^{-1} = g^{ab}\, {\bf e}_a \otimes {\bf e}_b, $$ то его компоненты задаются действием $g^{-1}$ на двойной основе $\{{\bf e}^a\}$: $$ g^{ab} = g^{-1}({\bf e}^a,{\bf e}^b). $$ 3 + 1 разложение пространства-времени реализуется поверхностями уровня (на самом деле гиперповерхностями) скалярного поля. $f$. Единица нормальная$n^a = - N g^{ab} \nabla_b f$. От блока нормальный$n^a$ можно строить проекторы параллельно ($P_\parallel$) и ортогональной ($P_\perp$) к нему. Их компоненты задаются выражениями$$ P_\parallel{}^{a}{}_{b} \equiv - n^a n_b, \qquad P_\perp{}^{a}{}_{b} \equiv \delta^a_b - P_\parallel{}^{a}{}_{b} = \delta^a_b - n^a n_b. $$ С помощью этих проекторов можно определить компоненты метрики $g_{ab}$ в терминах слоения гиперповерхности: $$ g_{ab} = h_{ab} - n_a n_b \equiv P_\perp{}^{c}{}_{a} P_\perp{}^{d}{}_{b}g_{cd} - n_a n_b. $$ Тензорное поле $h_{ab}$является индуцированной метрикой на гиперповерхностях, поскольку любое ее сжатие с единичной нормалью обращается в нуль. Аналогичным образом можно проверить, что компоненты обратной метрики удовлетворяют$$ g^{ab} = h^{ab} - n^a n^b \equiv P_\perp{}^{a}{}_{c} P_\perp{}^{b}{}_{d}g^{cd} - n^a n^b.\tag{1}\label{inverse} $$ На заданной гиперповерхности $f=t$вводится набор однопараметрических координат $y^\alpha$ которые плавно меняются как функция $t$. Это генерирует набор векторных полей$e_\alpha{}^a \equiv \partial x^a/\partial y^\alpha$касательные к гиперповерхности, которые служат отображением вложения гиперповерхности в пространство-время. В частности, индуцированная метрика может быть выражена через эти новые координаты через соотношение$h_{\alpha\beta}=h_{ab}e_\alpha{}^a e_\beta{}^b$. В этой системе координат вектор времени$t^a$ обычно не ортогонален гиперповерхности, но может быть разложен на ортогональные $N$ и тангенциальный $N^\alpha$ части: $$ t^a = Nn^a + N^\alpha e_\alpha{}^a.\tag{2}\label{decomposition} $$ Обратите внимание, что $\nabla_a f = -N^{-1}n_a$ двойственен вектору времени $t^a$. Подстановка \ eqref {разложение} на \ eqref {inverse} дает$$ g^{\mu\nu} = - N^{-2} t^\mu t^\nu + N^{-2} t^\mu N^\alpha e_\alpha{}^\nu + N^{-2} t^\nu N^\alpha e_\alpha{}^\mu + \left(h^{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta \right) e_\alpha{}^a e_\beta{}^b. $$ Компоненты обратной метрики в данной системе координат затем могут быть найдены сжатием: \begin{align} g^{00} &= g^{ab}\nabla_a f \nabla_b f = - N^{-2},\\ g^{0\alpha} &= g^{ab} \nabla_a f\; e_b{}^\alpha = N^{-2} N^\alpha= g^{a0},\\ g^{\alpha\beta} &= g^{ab}e_a{}^\alpha e_b{}^\beta = h_{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta. \end{align}

Рекомендации:

• Э. Пуассон (2007), Инструментарий релятивиста - главы 3, 4
• Э. Гургулхон (2012), Формализм 3 + 1 и основы численной теории относительности - главы 2, 3