общее решение конечных интегралов вида $\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx$?

Question

Недавно я работал со сферами более высоких измерений и нашел значение этого интеграла: $$\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx.$$

Хотя в каком-то смысле я работал наоборот. Я сделал это неотъемлемой частью отношений, которые мне уже удалось установить. Мне было интересно, можно ли найти значение этого интеграла с помощью каких-либо методов интеграции, например, если бы вам просто дали этот интеграл, вы бы смогли найти его значение. Я попробовал несколько интегральных калькуляторов онлайн, но они не дали никаких результатов. Я пробовал делать это сам и тоже ничего не нашел, однако интеграция на самом деле не моя область.

Answer 1

Мне было интересно, можно ли найти значение этого интеграла

Если вы ищете ответ, он у меня есть (из Mathematica)

Условное выражение Просто означало, что есть дополнительное условие, о котором было упомянуто.

Answer 2

Самым простым подходом было бы использование интегрирования по частям , которое также используется для получения произведения Уоллиса для аналогичных интегралов.

Позволять $I(b) = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx$, $v'=1$ и $u=(a-x^2)^b$, тогда $\frac{du}{dx}=-2bx(a-x^2)^{b-1}$. $I(0)=\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} dx=2\sqrt{a}$.

$$I(b) = [x(a-x^2)^b]_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} - \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} x(-2bx)(a-x^2)^{b-1} dx$$ $$I(b) = - 2b\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b + 2ab\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^{b-1} dx$$ $$I(b) = - 2bI(b) + 2abI(b-1)$$ $$I(b) = \frac{2ab}{2b+1}I(b-1)$$ $$I(b) = \frac{2ab}{2b+1}.\frac{2a(b-1)}{2b-1}...\frac{2a(2)}{2(2)+1}\frac{2a(1)}{2(1)+1} I(0)$$

Answer 3

Замена $$x = \sqrt{a}(2u-1), \quad dx = 2 \sqrt{a} \, du,$$ приводит к интегралу $$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \int_{u=0}^1 u^b (1-u)^b \, du.$$Это пропорционально бета-интегралу , значение которого равно$$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \frac{\Gamma(b+1)^2}{\Gamma(2b+2)}.$$ когда $b \in \mathbb Z^+$, это выражается в факториалах как $$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \frac{(b!)^2}{(2b+1)!} = \frac{(2 \sqrt{a})^{2b+1}}{(b+1) \binom{2b+1}{b}}.$$

Answer 4

Если вам нравятся гипергеометрические функции, предполагая $a>0$ и $b>0$ $$\int (a-x^2)^b\, dx=a^b\,x\,\, _2F_1\left(\frac{1}{2},-b;\frac{3}{2};\frac{x^2}{a}\right)$$ $$\int_{-t}^t (a-x^2)^b\, dx=2 a^b\,t \, _2F_1\left(\frac{1}{2},-b;\frac{3}{2};\frac{t^2}{a}\right)$$ Если $t=\sqrt a$, это приводит к результату, уже указанному в ответах.