Оценить $\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$
$$\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$$
Я должен оценить этот предел, не прибегая к «идеям непрерывности». Поэтому я полагаю, что не могу заменить$-2$в функцию и найду предел, можно? Как мне тогда найти этот предел?
Ответы
Мы можем догадаться, что $\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=59$ и чтобы доказать это, мы можем использовать определение, чтобы показать, что $\forall \varepsilon>0 \: \exists \delta>0 \:\forall x\: |x-(-2)|=|x+2|<\delta$ у нас есть
$$|3x^4+2x^2-x+1-59|=|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \varepsilon$$
тогда предположим, что wlog $|x+2|<1$ это $-3<x<-1$ тогда
$$|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \delta|3x^3-6x^2+14x-29| \le 206 \,\delta$$
поскольку $f(x)=x^3-6x^2+14x-29$ отрицательно, строго возрастает для $x\in[-3,-1]$ и $|f(-3)|=206$, то достаточно предположить
$$\delta \le \frac{\varepsilon}{206}$$
См. Также соответствующие
- В поисках «подходящего» $\delta$ учитывая предел
- Вопрос относительно (ε, δ) -определения предела
С тех пор $$lim_{x \to -2} 3x^{2}=3(-2)^{4},$$ $$\lim_{x\to -2}2x^{2}=2(-2)^{2},$$ $$\lim_{x\to -2}-x=-(-2)$$и $$\lim_{x \to -2}1=1$$Следовательно, можно сделать вывод, что $$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)$$существует, а также $$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=3(-2)^{4}+2(-2)^{2}-(-2)+1=59.$$
Обратите внимание, что вам нужны только свойства ограничений.