Оцените предел $\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $

Aug 17 2020

Как вы оцениваете этот предел последовательности, используя теорему сжатия / сэндвича? $$\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $$

Я действительно не знаю, с чего начать. Я пробовал использовать тот факт, что$\lim_{n \to \infty} \left(3^n\right)^{\frac1n} = 3$ (это правильный ответ), но я не знаю, что дальше.

Благодаря!

Ответы

7 user Aug 17 2020 at 20:11

У нас есть это

$$3=(3^n)^{1/n}\le (3^n+1)^{1/n}\le (3^n+3^n)^{1/n}=3\cdot2^\frac1n$$

затем заключите с помощью теоремы сжатия.

2 sera Aug 17 2020 at 20:12

Вы можете использовать $3=(3^n)^{1/n} \leq(3^n + 1)^{1/n} \leq (3^n+3^n)^{1/n}=2^{1/n}\cdot 3$

2 Alex Aug 17 2020 at 20:17

С логарифмом: перепишите выражение как $$ e^{\frac{1}{n}(\log 3^n + \log (1+\frac{1}{3^n})} $$ Первый член $3$. У второго есть простые границы:$$ 0<\log (1+\frac{1}{3^n})<\log 2 $$ и поэтому, $$ 1<e^{\frac{1}{n}\log (1+\frac{1}{3^n})}<e^{\frac{\log 2}{n}} \to_n 1 $$

2 Masacroso Aug 17 2020 at 20:22

Немного другой способ $3^n$ снаружи $(3^n+1)^{1/n}$, то есть $$ (3^n+1)^{1/n}=3(1+3^{-n})^{1/n} $$ Обратите внимание, что $1\leqslant 1+3^{-n}\leqslant 2$ для каждого $n\in \mathbb N $, поэтому, принимая пределы в неравенстве, приходим к $$ 1\leqslant \lim_{n\to\infty}(1+3^{-n})^{1/n}\leqslant \lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1 $$ и другие $$ \lim_{n\to\infty}(3^n+1)^{1/n}=\lim_{n\to\infty}3(1+3^{-n})^{1/n}=3 $$

1 AmirhosseinDolatkhah Aug 17 2020 at 20:13

Рассматривать $y = (3^n + 1)^\frac{1}{n}$ теперь влияет на логарифм в обе стороны:$$\ln{y} = \frac{\ln{(3^n + 1)}}{n}$$ очевидно, если $n$ стремится к бесконечности, мы можем опустить 1 внутри логарифма, тогда мы легко получим: $\ln{y} = \ln 3$ когда $n$уходит в бесконечность. так что ответ:$$y = 3$$

1 BastienTourand Aug 17 2020 at 20:07

где $n$ достаточно большой $3^n$ намного больше, чем $1$, которым можно пренебречь (можно заметить, что $100000000000000000000$ и $100000000000000000001$ «почти» одинаковы).

Так $3^n+1 \sim_{n \to \infty} 3^n$ тем, что $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n+1}{3^n}=1$ быстро, а остальное можно сделать легко.

1 FelixMarin Aug 17 2020 at 21:38

$$ \displaystyle\left(3^{n} + 1\right)^{1/n} = 3\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{1/n} = 3\left[\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{3^{\large n}}\right]^{1/\left(3^{\large n}n\right)} \,\,\,\stackrel{\mathrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \bbox[#ffd,10px,border:1px groove navy]{\large 3} $$