Оценка $\int \ln(2x+3) \mathrm{d}x$

Question

Оценить $$\int \ln(2x+3)\mathrm{d}x$$

Набор $r = 2x+3 \rightarrow \mathrm{d}r = 2\mathrm{d}x$

Так интеграл становится $\displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r$

Набор $u=\ln(r)$, $\mathrm{d}v=\mathrm{d}r$, так $\mathrm{d}u = \frac{1}{r}\mathrm{d}r$ и $v=r$

$\implies \displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\int u\, \mathrm{d}v=\frac{1}{2}(uv-\int v\, \mathrm{d}u) = \frac{1}{2}\left(\ln(r)r-\int \mathrm{d}r\right) = \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\left(x+\frac{3}{2}\right)+C$

Но правильный ответ $\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C$

Может ли кто-нибудь показать мне, где моя ошибка, а также лучший способ решить проблему? Благодаря!

Answer 1

Нет никакой ошибки. $C$ - произвольная постоянная и $-\frac 3 2+C$ просто еще одна константа $C'$. И нет лучшего способа ответить на этот вопрос.

Answer 2

Альтернативный метод

Рассматривать, $$\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}=\ln(2x+3)+\frac{2x}{2x+3}$$ Перестановка, $$\ln(2x+3)=\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}-\frac{2x}{2x+3}$$ Итак, объединив обе стороны, вы можете получить ответ

Answer 3

Ваше решение правильное, так как константа плюс другая константа может быть представлена ​​другой константой, поэтому $-\frac{3}{2}+C=C_1$.

В качестве альтернативы вы можете интегрировать по частям и позволить $u=\ln(2x+3)$ и $dv=dx$. потом$du=\frac{2}{2x+3}$ и мы можем взять $v=x+\frac{3}{2}$. Это следует из того\begin{align}\int \ln(2x+3)\,dx&=\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \left(x+\frac{3}{2}\right)\frac{2}{2x+3}\,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C, \end{align} как и ожидалось!