Ограничьте использование расширения Тейлора: какой термин мы расширяем?

Aug 20 2020

Я хочу проверить лимит $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )}$ используя разложение Тейлора.

Я сделал следующее: $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )=\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}\right )=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left (\frac{(n-1)^2}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{(n-1)^n}{\left (n^2+1\right )^{\frac{n}{2}}}$$

Для какого члена нужно писать разложение Тейлора?

Ответы

1 user Aug 20 2020 at 18:19

У нас есть это

$$\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}=1-\frac{2n}{n^2+1}$$

то мы можем начать с разложения Тейлора первого порядка для $\log(1+x)$ чтобы получить

$$\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )=\ln\left (1-\frac{2n}{n^2+1}\right )=-\frac{2n}{n^2+1}+O\left(\frac1{n^2}\right)$$

тогда

$$\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )=\text{exp}\left( -\frac{n^2}{n^2+1}+O\left(\frac1{n}\right)\right)\to e^{-1}$$

то в этом случае достаточно разложения первого порядка.

В общем, не существует способа априори определить, до какого порядка нам нужно расширяться, но после некоторой практики это становится относительно простым для стандартных ограничений.

2 enzotib Aug 20 2020 at 16:36

Развернуть логарифм $$ \ln\left(\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right)=\ln\left (1-\frac{2n}{n^2+1}\right)=-\frac{2n}{n^2+1}+\ldots $$