Ограничения, при которых $\rho(x, y) = |x - y|^d$ удовлетворяет неравенству треугольника

Aug 15 2020

Можно ли чисто алгебраическими средствами (не сразу прибегая к контрпримерам) доказать, что $\rho(x, y) = |x - y|^d$ не удовлетворяет неравенству треугольника $\rho(x, y) \leq \rho(x, z) + \rho(z, y)$ для $d = 2$? И при каких ограничениях на$x, y, z$удовлетворяет ли оно неравенству? Я пытаюсь понять почему$\rho$ не может быть действительной метрикой на $\mathbb R$.

Бонусный вопрос: для каких еще значений $d \in \mathbb R$ делает $\rho$ не удовлетворяют неравенству треугольника.

Ответы

3 KaviRamaMurthy Aug 15 2020 at 16:39

Неравенство эквивалентно $(a+b)^{d} \leq a^{d}+b^{d}$ для $a, b \geq 0$. Положив$a=b=1$ Мы видим, что $2^{d} \leq 2$. Следовательно$d \leq 1$это необходимое условие. Для любой$d \in (0,1]$неравенство справедливо. Это можно доказать, заметив, что$(a+b)^{d}-a^{d}-b^{d}$ убывающая функция $a$ и исчезает, когда $a=0$.

Когда $d<0$, $|x-y|^{d}$ даже не определено, когда $x=y$ поэтому он не дает метрики. $d=0$ остается вам.