Ограниченная вещественная функция на $[0,1]$, не интегрируемый?
Такая функция существует? Если да, то это должен быть очень патологический случай. Я говорю об интегрируемости по Лебегу.
Например, если $f(x)=1$ если $x$ рационально и равно нулю в противном случае, то $\int_0^1 f(x)dx = 0$. Итак, вам нужно найти пример более патологический, чем этот. Возможный пример - следующий.
Позволять $f(x)$ - реализация гауссовской случайной величины $Z_x$ со средним значением, равным $0$ и дисперсия равна $1$. Предположим, что$Z_x$распространяются одинаково и независимо. Такая функция$f(x)$нигде не является непрерывным, и его можно рассматривать как реализацию белого шума. Однако вы можете утверждать, что его неотъемлемая часть$[0,t]$ это ценность $B(t)$ реализации броуновского движения начиная с $B(0)=0$, и измеряется во времени $t$. Таким образом$\int_0^1 f(x) dx = B(1)$. Обратите внимание, что броуновские движения нигде не дифференцируемы, поэтому, возможно, есть противоречие в том, что я говорю здесь.
Во всяком случае, я никогда не встречал контрпримеров: функция, ограниченная $[0, 1]$но не интегрируемые в этом интервале. Вы можете показать пример?
Ответы
Позволять $f$ - ограниченная функция на $[0,1]$.
Либо $f$ измеримо, и тогда $$ \int_0^1 |f| ≤ \sup |f|\ \int_0^1 1\,\mathrm d x = \sup |f| < \infty $$ так $f$ интегрируемо.
Либо $f$не поддается измерению. Это существует, если вы принимаете аксиому выбора. Затем вы можете взять любой неизмеримый набор$\Omega$ и возьми $f = \chi_\Omega$характеристическая функция этого множества, предложенная Нейтом Элдриджем. Тогда по определению эта функция не интегрируема.