Опустить многогранник в воду $-$ связаны ли вершины на уровне воды с вершинами внизу?

Question

Допустим, мы берем выпуклую полиопу$P$ и лицо $A$ с вершинами $a_1,\ldots, a_n$. Мы удерживаем многогранник с$A$ заподлицо с поверхностью и медленно опустите, удерживая $A$параллельно поверхности. Продолжаем спуск до тех пор, пока уровень воды не достигнет какой-то вершины$b_1$ не принадлежит $A$. Тогда пусть$b_1,\ldots, b_m$все вершины на уровне воды. Я думаю:

Каждый $b_i$ присоединенный ребром к некоторым $a_i$?

Кажется физически очевидным. Но то же самое касается и многих фактов о многогранниках, таких как эквивалентность определений линейных неравенств / выпуклой оболочки.

Если вы рассматриваете часть многогранника между уровнем воды и плоскостью, натянутую на $A$ вы получите многогранник меньшего размера $Q$. Этот$Q$ есть все $a_i,b_j$ как вершины, но могут иметь дополнительные вершины, созданные, когда ребра $A$пройти через воду. Тем не менее все вершины лежат в одной из двух плоскостей. Это наводит на мысль о следующем, возможно, более простом вопросе.

Предположим $P_1,P_2$ две параллельные плоскости, и $P$ многогранник, каждая вершина которого лежит в $P_1$ или же $P_2$. Каждая вершина в$P_1$ соединенный ребром с вершиной $P_2$?

Answer 1

Ответ на ваш второй вопрос - да (как и ответ на первый).

Вообще говоря, для каждой вершины (полномерного) многогранника $P\subset\Bbb R^d$, направления ребер, инцидентных этой вершине, охватывают все $\Bbb R^d$.

Если вершина в $P_1$ будет иметь ребра только к другим вершинам в $P_1$, то пролет будет иметь размер $\le \dim(P_1)= d-1$, следовательно, не все $\Bbb R^d$.