Отображается ли карта Гайсина в $K$-теория уважения бордизма?

Aug 16 2020

Позволять $X_1$ и $X_2$ быть два закрытых спина$^c$ многообразий, бордантных по спину$^c$ многообразие с краем $W$.

Позволять $Z$ быть закрытым спином$^c$ коллектор с $\dim Z=\dim X_1$ мод $2$. Позволять$$f_1:X_1\to Z,\qquad f_2:X_2\to Z,\qquad F:W\to Z$$ гладкие отображения такие, что $F|_{X_1}=f_1$ и $F|_{X_2}=f_2$. Мы можем присоединиться к$f_1$ и $f_2$ две встречные (или гайсинские) карты в $K$-теория:

$$f_{1!}:K^0(X_1)\to K^0(Z),$$ $$f_{2!}:K^0(X_2)\to K^0(Z).$$

Позволять $E_1\to X_1$ и $E_2\to X_2$ быть двумя $\mathbb{C}$-векторные расслоения такие, что существует векторное расслоение $\Omega\to W$ удовлетворение $\Omega|_{X_1}\cong E_1$ и $\Omega|_{X_2}\cong E_2$. Позволять$[E_i]\in K^0(X_i)$ обозначить $K$-теоретические классы, определяемые $E_i$.

Вопрос: Верно ли, что$f_{1!}[E_1]=f_{2!}[E_2]\in K^0(Z)$?

Добавлено после: Меня больше всего интересовал бы подход, не использующий напрямую двойственность Пуанкаре для K-теории / K-гомологии.

Ответы

1 BadEnglish Aug 20 2020 at 22:43

Позволять $N^n=\partial M^{n+1}$, $E\in K^\bullet(M)$ и $f:M\to X$

Выберите гладкое вложение $i:X\to \mathbb{R}^N,N>>1$, обозначим через $\chi$ нормальный набор $X$ и по $\mu$ нормальный набор $M$ после подходящей небольшой деформации $i\circ f$.

Позволять $\nu=\mu|_N$ и $\eta$ быть нормальным пучком $N\subset M$ (что тривиально и одномерно)

Рассматривая трубчатые окрестности, мы получаем естественную карту:

$t:Th_\chi X\to Th_{\nu+\eta}N$, где $Th$ обозначает пространство Тома.

После применения изоморфизма Тома $th$ на $K^\bullet$ получаем определение отображения Гайсина (идущего "вправо" на $Th$s). Таким образом, для$f_!(E|_N)=0$ достаточно доказать, что $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$

Фактически $t^*$проходит через соединительный гомоморфизм. А именно есть коммутативная диаграмма:

$\begin{matrix} Th_{\chi}X&\to& Th_{\mu}M/Th_\nu N&\\ \downarrow{t}&\swarrow{\sigma}&\downarrow{\Sigma}&\\ Th_{\nu+\eta}N&\xrightarrow{\sim}& \Sigma Th_{\nu}N&\\ \end{matrix}$

Верхняя стрелка идет от трубчатых кварталов.

Горизонтальный изоморфизм происходит из тривиальности $\eta$, а приостановка $\Sigma$ из последовательности кофайберов Puppe:

$Th_\nu N\to Th_\mu M\to Th_\mu M/Th_\nu N\xrightarrow{\Sigma} \Sigma Th_{\nu}N$

Карта $\sigma$ объясняет коммутативность и исходит из:

$Th_\mu M/Th_\nu N\sim Th_\mu M/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to$ $Th_\mu (N\times(-\varepsilon,\varepsilon))/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to Th_{\nu+\eta}N$ где $N\times [0,\varepsilon)\subset M$ воротник $N$.

В заключение, $\Sigma^*$ - связывающий гоморфизм, и отсюда следует, что $\Sigma^* th_{\nu}(F)=0$ для всех $F\in Im( K^\bullet(M)\to K^\bullet(N))$, так $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$

4 NicholasKuhn Aug 16 2020 at 20:09

Ответ - да, используя общие свойства ориентаций и фундаментальных классов.

Позволять $X_1$ и $X_2$ быть $n$- размерный. потом$f_{!i}$ составной $$K^0(X_i) \xrightarrow[\sim]{\cap [X_i]} K_n(X_i) \xrightarrow{f_{i*}} K_n(Z) \xleftarrow[\sim]{\cap [Z]} K^0(Z).$$

Между тем двойственность Пуанкаре для $W$ имеет форму $K^0(W) \xrightarrow{\cap [W]} K_{n+1}(W, X_1 \coprod X_2)$, и $d([W]) = [X_1]-[X_2]$. Таким образом$ d(\Omega \cap [W]) = (E_1 \cap [X_1], -E_2 \cap [X_2])$, и другие

$$ (f_{1*})(E_1 \cap [X_1]) - (f_{2*}(E_2 \cap [X_2]) = F_* i_* (d(\Omega \cap [W])) = 0,$$

поскольку составной

$$K_{n+1}(W,X_1\coprod X_2) \xrightarrow{d} K_n(X_1 \coprod X_2) \xrightarrow{i_*} K_n(W)$$

равно нулю.