Отображение $(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

Aug 19 2020

Позволять $K = \mathbb{C}[[h]]$ - алгебра формальных степенных рядов комплексного поля, и пусть $K_n = \frac{\mathbb{C}[[h]]}{(h^n)}$. Я пытаюсь понять следующий изоморфизм:

$(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

Спасибо!

Ответы

2 FabioLucchini Aug 18 2020 at 23:48

Утверждение верно для любой коммутативной алгебры $B$ над коммутативным кольцом $A$ и $A$-модули $M,N$. Это следует из этой цепочки$B$-модульные изоморфизмы: \begin{align} (M\otimes_AB)\otimes_B(N\otimes_AB) &\xrightarrow\sim M\otimes_A(B\otimes_B(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim M\otimes_A(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim(M\otimes_AN)\otimes_AB\\ \end{align}