Отображение сходимости ряда при сходимости последовательности
Я работаю над проблемой, которая требует от меня показать следующее: Учитывая последовательность действительных чисел, $(x_n), n=0,1,2,...$ такой, что $x_n \rightarrow x$, покажи это $$\lim_{p\to 1^{-}} (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_n p^n = x$$ Мой подход состоит в том, чтобы попытаться доказать это аналогично тому, как мы доказываем формулу геометрического ряда (что было бы просто, если бы $(x_n)$были постоянной последовательностью). Итак, глядя на частичные суммы вышеприведенного ряда, мы видим, что:$$(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_n p^n = x_0 + p(x_1-x_0) + p^2(x_2-x_1) +...+p^N(x_N-x_{N-1})+p^{N+1}X_{N}$$ Отсюда я не могу позволить $p\rightarrow 1^{-}$еще, иначе все было бы отменено. Поэтому я хочу использовать тот факт, что$x_n$ сходится к $x$, и я подозреваю, что мне придется использовать тот факт, что поскольку $x_n \rightarrow x$, то $(x_m - x_{m-1})$ условия собираются $0$ для больших $m$. Однако я до сих пор не знаю, как поступить с первоначальными условиями в сумме, где$(x_m - x_{m-1})$ сроки не являются незначительными.
Ответы
$\epsilon>0$:
мы хотим показать, что существует $\delta$ для чего, если $p\in\left(1-\delta,1\right)$ тогда $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\in\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)$. мы знаем, что x_n сходится к x, поэтому существует N такое, что для всех n> N мы имеем:$x_n\in\left(x-\dfrac{\epsilon}{2},x+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$. мы также знаем, что:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}=(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}$. давайте посмотрим на вторую часть:$(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)p^{n}=\left(1-p\right)\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\dfrac{p^{N}}{1-p}=\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot P^{N}$
так что у нас есть: $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot p^{N}$
но для p, которое достаточно близко к 1, первая часть стремится к нулю, а вторая часть идет к x минус эпсилон. Таким образом, вы можете показать для правой дельты нужную вам нижнюю границу. Очень похоже на отображение верхней границы.
Я надеюсь это понятно