Пара L-tromino!

Question

Эми играет с разными полимино. Она внезапно думает о следующей проблеме.

Выберите два положительных целых числа $m,n$. Если мы можем использовать только L-trominos для мозаики$m\times n$ прямоугольник без промежутков, перекрытий или любого квадрата, в котором выступают прямоугольники, тогда мы называем пару $(m,n)$ Пара L-тромино.

Она называет своего брата Беном и джинном и пытается вычислить все пары L-тромино. Джинн очень умен и нашел их всех с доказательствами. Ты можешь?

---

Проблема сама по себе.

---

Вот изображение L-tromino, если хотите его увидеть:

Answer 1

Очевидно, что оба размера мозаичного прямоугольника должны быть не менее $2$. Кроме того, поскольку площадь тромино$3$, площадь мозаичного прямоугольника кратна $3$, и, следовательно, по крайней мере, одно из измерений кратно 3.

Сначала несколько простых случаев:

$3k\times2n$: Два тромино образуют $3\times2$прямоугольник. Поэтому любой$3k\times2n$ прямоугольник тривиально мозаичен.

$6k\times(2n+3)$: Этот прямоугольник разделяется на $6k\times3$ и $6k\times2n$ прямоугольник, оба из которых являются экземплярами тривиально мозаичного случая выше.

Самый хитрый случай:

Вышеупомянутые случаи относятся ко всем прямоугольникам, у которых одно из измерений четное. Так что теперь остались только те, что имеют необычные размеры.

$9\times5$: Этот прямоугольник можно выложить плиткой:

$(6k+9) \times (2n+5)$: Любой прямоугольник нечетных размеров, размерность которого кратна 3, но не менее $9\times5$, можно облицовывать плиткой. Можно отколоть прямоугольник размером$6k\times(2n+5)$ который, как уже было показано, может быть тайловым, чтобы уменьшить его до $9\times(2n+5)$. Затем вы можете отколоть прямоугольник размером$9\times2n$, оставив плиточный $9\times5$.

Осталось показать, что$3\times(2n+1)$не является мозаичным. Это довольно очевидно, если вы попробуете. Единственные способы, которыми вы можете заполнить короткий край прямоугольника, будут создавать$3\times2$блок. Следовательно, прямоугольник неизбежно уменьшается до непригодного для использования$3\times1$форма.

Напомним, пары L-тромино - это$(m,n)$ где $m,n\ge2$, по крайней мере, один из $m$ или $n$ делится на 3, и если они оба нечетные, то $m,n\ge5$.