Почему действие Control-Z не изменяется за счет обмена целевыми контрольными кубитами?

Question

В книге «Квантовая информатика», объясняя код исправления ошибок, он использует эту картинку и говорит, что «действие control-z не изменяется путем обмена целевым и контрольным кубитами».

Означает ли это, что действие cZ (управляющий кубит вспомогательного слова и кубит целевого кодового слова) равно cz (кубит управляющего кодового слова и целевой вспомогательный кубит)? Если это так, то почему?

В моем понимании | 1> Z | 0> (первый кубит - это контрольный кубит) не равно Z | 0> | 1> (второй кубит - это контрольный кубит).

Answer 1

Если у нас есть произвольное двухкубитное состояние:

$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$

затем после применения $CZ_{1 \rightarrow 2}$ управляемый с первого кубита, получим:

$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

потому что операция управления работает, когда управляющий кубит $|1\rangle$ и $Z$ ворот меняет знак амплитуды $|1\rangle$ государство, следовательно $CZ_{1 \rightarrow 2}$ действие меняет знак $|11\rangle$.

Теперь действие $CZ_{2 \rightarrow 1}$:

$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

То же самое и здесь только знак $|11\rangle$должны быть изменены по аналогичным причинам. В этом также можно убедиться, используя матрицы:

$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$