Почему не заменяет очень большие $n$ в $(1+1/n)^n$ дать значения, приближающиеся к числу Эйлера $e$?
Я хотел бы спросить, что такое число Эйлера $e$? Я этого не понимаю.
Что я знаю:
$e$ является $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ так как $n$ достигает бесконечности
$e$ является $2.718281828\ldots$
Вопрос:
Если я введу $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000$, Я получил $2.718523496\ldots$, что выше, чем $2.718281828\ldots$.
Если я продолжу и введу $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000$, Я получил $3.035035207\ldots$ что намного выше, чем $2.718281828\ldots$.
Думаю, я что-то упустил или ошибся.
Я неправильно понял формулу? Формула и$2.718281828$ выше только приближение?
Буду очень признателен за любые объяснения, уточнения и исправления. :)
Большое вам спасибо за ваше время!
Ответы
Вот анализ ошибок. Если$$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$ тогда $$\ln a_n=n\ln\left(1+\frac1n\right)=n\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}-\cdots\right)=1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}-\cdots.$$ Для больших $n$, $\ln a_n$ очень близко к $$1-\frac1{2n}$$ и так $a_n$ близко к $$e\exp(-1/(2n))=e\left(1-\frac1{2n}+\frac1{8n^2}-\cdots\right).$$ Собственно $1/(8n^2)$ термин здесь ложный, поскольку я пренебрегал $1/(3n^2)$ срок в расширении $\ln a_n$. Но грубая оценка$a_n$ в том, что $$a_n\approx e-\frac{e}{2n}.$$ Ошибка чуть хуже чем $1/n$.
Принимая $n=10^{12}$ скажи, ты о $11$ к $12$правильные десятичные знаки. Ошибка, которую вы получаете с калькулятором, несомненно, связана с недостаточной точностью представления чисел с плавающей запятой. Наверное, переполнение .
Математика с плавающей запятой на компьютере - это не то же самое, что настоящие математические вычисления. Когда мы использовали$32$ битовые поплавки, которые давали только $23$ кусочки мантиссы, около $7.2$десятичные цифры, это была проблема, которая волновала всех, и большие разделы курсов численного анализа были сосредоточены на том, чтобы избежать проблем с числовой точностью. Теперь, когда поплавки$64$ биты с $53$бит мантиссы проблема была значительно уменьшена, но она все еще может иметь проблему. Когда вы повышаете до очень маленькой мощности, вы можете думать о$(1+\frac 1n)^n=e^{(\log(1+\frac 1n)n)}$ и расширить $\log(1+\frac 1n)$ в сериале Тейлор.