Почти уверенная сходимость и лакунарные последовательности

Question

Есть пример последовательности $X_n$ случайных величин так, чтобы для каждой лакунарной последовательности $n_k$ он считает, что $X_{n_k}$ почти наверняка сходится к $0$, но $X_n$ почти наверняка не сходится к $0$?

Последовательность $n_k$ лакунарна, когда существует $\lambda > 1$ так что $n_{k+1} > \lambda n_k$ для всех $k$.

Answer 1

Вероятностное пространство $[0,1]$с мерой Лебега.

Позволять $$ X_{2^n + m} = \cases{I_{[m/n^2,(m+1)/n^2]} & if $0 \ ле м <п ^ 2$ \\ 0 & otherwise.}$$ Ясно $X_n$расходится везде. Если$n_k$ лакунарно, то существует фиксированное число $M$ (относится к $\log_2 \lambda$) такие, что не более $M$ из $n_k$ лежать в любом $[2^n, 2^{n+1})$, и множество, где каждое из них не равно нулю, имеет меру не более $\frac 1{n^2}$. Итак, используя лемму Бореля-Кантелли, мы видим, что$X_{n_k} \to 0$ в виде

Вы также можете сделать $X_n$независимые, но с таким же распределением. Тогда вы можете показать, что$X_n$ расходится по второй лемме Бореля-Кантелли.

Answer 2

Как ясно из принятого ответа, лемма Бореля Кантелли делает это эквивалентным гораздо более простому вопросу поиска последовательности $p_k\ge 0$ это не суммируется, но так, что каждая лакунарная подпоследовательность суммируема.

Например, возьмите $p_t$ быть убывающей функцией с $\sum_{k=1}^{\infty}p_{k}=\infty$, нравиться $p_t = 1/t$ за $t\in \mathbb{R}_{+}$. Позволять$X_n$ - последовательность независимых Бернулли $(p_n)$случайные переменные. потом$\sum_{k=0}^\infty \mathbb{P}(X_k> 0) = \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k} = \infty$, так что почти наверняка эта последовательность будет $1$ бесконечно часто (аналогично, это будет $0$бесконечно часто тоже). Следовательно, с вероятностью$1$, не сходится. С другой стороны, для любой лакунарной последовательности$n_k$, будет несколько $\lambda > 1$ так что $n_k > \lambda^k n_1$. Следовательно,

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}(X_{n_{k}} > 0) = \sum_{k=1}^{\infty}p_{n_{k}}\le \sum_{k=1}^{\infty}p_{\lambda^{k}n_{1}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n_{1}\lambda^{k}} < \infty $$ и поэтому вероятность того, что $X_{n_{k}} > 0$ бесконечно часто $0$ Бореля Кантелли, поэтому последовательность сходится к $0$ почти наверняка.