Поиск заданного окружения на многообразии

Question

Для гладкого многообразия докажите, что для открытого множества $U\subset M$ мы всегда можем найти закрытый набор $\bar{B}\subset U$ такой, что $B$ это окрестность некоторой точки $p\in U$.

Моя попытка: с $M$ имеет основу из правильных шаров, существует $B\subset U$ который является обычным мячом, поэтому существует еще один $B'$ такой, что $\bar{B}\subset B'$. Но как показать, что это содержится в$U$?

Answer 1

выберите $p\in U$ и выберите координатный шар $V\ni p$ с участием $V\subseteq U$. Мы можем выбрать этот шар так, чтобы существовал диффеоморфизм$\phi:V\to B_r(0)\subseteq \Bbb{R}^n$. Затем установите $W=\phi^{-1}(B_{r/2}(0))$, а затем обратите внимание, что $\overline{W}\subseteq U$ и это $W$ это район $p$.

Примечание: первый выбор $V$ возможно, потому что есть основа по координатным открытым множествам.