Показать, что группа порядка $pq$ имеет подгруппу порядка $p$ и $q$ без использования теорем Зилова и Коши

Aug 16 2020

Если $o(G)$ является $pq$, $p>q$ простые числа, докажите, что $G$ имеет подгруппу порядка $p$ и подгруппа порядка $q$.

[Этот вопрос от Герштейна предшествует теореме Силова и Коши. Так что я жду ответа, не используя ничего из этого]

Вот что у меня получилось:

Если $G$ является циклическим, то мы поступаем иначе, мы можем предположить, что он не циклический, что означает, что каждый неединичный элемент должен иметь порядок $p$ или же $q$.

случай $(1)$ если существует $a\in G$ такой, что $o(a) = p$ и если существует еще элемент порядка $q$тогда мы закончили. Таким образом, мы можем предположить, что каждый неединичный элемент имеет порядок$p$. Теперь выберите$b\in G$ такой, что $b\notin \langle a \rangle$ тогда $o(b) = p$ и $\langle a \rangle\cap\langle b \rangle =(e)$

Итак, у нас есть $\langle a\rangle \langle b\rangle\subset G$ но $o(\langle a \rangle \langle b \rangle) = \dfrac {o(\langle a \rangle)o(\langle b \rangle)}{o(\langle a\rangle \cap \langle b\rangle)} = p^2$ но $p^2 > pq$ [поскольку $p>q$] и мы получили противоречие.

Дайте мне подсказку для второго случая и поправьте меня, если мой аргумент для первого случая неверен

Ответы

4 UmeshShankar Aug 16 2020 at 20:40

Предположим, что каждый неединичный элемент порождает циклическую группу порядка $q$, меньшее из простых чисел.

Сопряженность - это отношение эквивалентности на группе. Итак, мы должны иметь возможность разбить группу на классы эквивалентности. Размер класса эквивалентности, к которому принадлежит элемент, является индексом централизатора элемента. Почему? Исправить$x\in G$. Сделайте гомоморфизм из$G \rightarrow G$ отправив $g \rightarrow xgx^{-1}$. Размер класса эквивалентности - это порядок изображения. Какое ядро ​​этой карты?

Если центратор в порядке $p$ или же $pq$, мы сделали. Предположим, что каждый централизатор имеет порядок$q$, индекс централизатора равен $pq/q=p$. Каждый элемент будет принадлежать к классу эквивалентности размера$p$, за исключением элемента идентичности.

Простой расчет мощности показывает, что $pq= kp+1$, где представляет количество классов эквивалентности. Однако это абсурд и, следовательно, не всякая подгруппа порядка$q$.