Понимание доказательства: каждая выпуклая функция непрерывна

Aug 19 2020

Я пытаюсь понять следующее доказательство:

Теорема 2.10. Если$f$ - выпуклая функция, определенная на открытом интервале $(a, b)$ тогда $f$ продолжается на $(a, b)$

Доказательство. Предположим$f$ выпуклый на $(a, b),$ и разреши $[c, d] \subseteq(a, b) .$ выберите $c_{1}$ и $d_{1}$ такой, что $$ a<c_{1}<c<d<d_{1}<b. $$ Если $x, y \in[c, d]$ с участием $x<y,$ мы имеем из леммы 2.9 (см. рис. 4$)$ тот $$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq \frac{f(d)-f(y)}{d-y} \leq \frac{f\left(d_{1}\right)-f(d)}{d_{1}-d} $$ и $$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \geq \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq \frac{f(c)-f\left(c_{1}\right)}{c-c_{1}}, $$ показывая набор $$ \left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|: c \leq x<y \leq d\right\} $$ ограничен $M>0 .$ Следует $|f(y)-f(x)| \leq M|y-x|,$ и поэтому $f$ равномерно непрерывна на $[c, d] .$ Вспоминая, что равномерная непрерывность влечет непрерывность, мы показали, что $f$ продолжается на $[c, d] .$ поскольку интервал $[c, d]$ был произвольным, $f$ продолжается на $(a, b)$. ${}^2$ $\square$

(расшифровано с этого скриншота)

Мои вопросы :

  1. Откуда взялись значения модуля в выражении $\left\{\left|\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\right\}$ родом из?
  2. Что о $M=0$? Я думаю, что этот случай тоже следует рассмотреть, хотя он и банален. Я думаю, идея в том, что если$M=0$, тогда $f$постоянно и, следовательно, непрерывно. Но как мы можем показать это строго?

Ответы

2 JoséCarlosSantos Aug 18 2020 at 23:29

Поскольку автор нашел номера $\alpha$ и $\beta$ такое, что у тебя всегда было, когда $c\leqslant x<y\leqslant d$,$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leqslant\alpha$$и$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\geqslant\beta,$$тогда набор$$\left\{\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$ограничено, поэтому множество$$\left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$тоже ограничено. Итак, вы можете взять$M>0$ такой, что$$c\leqslant x<y\leqslant d\implies\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|<M.$$И поскольку вы взяли $M>0$, нет необходимости беспокоиться о том, что $M=0$.

SatyaVivekBoddu Aug 18 2020 at 23:30
  1. В этом доказательстве мы используем нечто эквивалентное равномерной непрерывности на ограниченном множестве, а именно липшицеву непрерывность, и именно отсюда и происходит это выражение. Нужно было бы доказать, что липшицева непрерывность подразумевает однородную непрерывность, но это часто не учитывается, поскольку рассматривается как элементарная.
  2. Я не понимаю почему $M=0$ придется рассматривать отдельно, так как любая функция, удовлетворяющая неравенству с $M=0$ удовлетворял бы неравенству для любого положительного $M$.