Понимание взаимности Фробениуса

Question

Я застрял, пытаясь понять доказательство следующего утверждения:

Позволять $\pi$ быть неприводимым представлением $G=GL_2$. Тогда следующие эквиваленты:

• $\pi$ эквивалентно подпространству $Ind_B^G \chi$ для персонажа $\chi$ из $T$ ;
• $\pi$ содержит тривиальный характер $N$.

Здесь мы используем обычные обозначения: $B$ стандартный борелевский верхнетреугольных матриц, $N$ унипотентные верхнетреугольные матрицы и $T$ тор диагональных матриц.

Упоминается, что это простое следствие взаимности Фробениуса, но я не понимаю, где это вступает в игру.

Answer 1

Я полагаю, вы говорите о конечных группах и их сложных представлениях.

Мы знаем это благодаря взаимности Фробениуса $Hom_N (1, \pi) \cong Hom_G (Ind^G _N 1, \pi)$ . Мы также знаем, что $Ind^G _N 1 \cong \sum_\chi Ind^G _B \chi$это доказывает утверждение.

Answer 2

Вы описываете индукцию и ограничение Хариш-Чандры. Если$\psi$ персонаж $T$, записывать $R_T^G(\psi)$ за $\psi$ раздут до $B$, а затем побудили к $G$. С другой стороны, если$\chi$ персонаж $G$, записывать ${}^*R_T^G(\chi)$ для персонажа, полученного первым путем ограничения $B$, а затем взяв то подпространство этого пространства, которое фиксируется унипотентной подгруппой $U$. Это естественно становится персонажем для$T$.

Ответственность Фробениуса применима к любому персонажу $G$ и любой персонаж $T$, дает $\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle$. Чтобы увидеть это замечание, мы игнорируем в HC-ограничении все символы, которые не расширяются из тора. Таким образом$$\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_B}\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_T}\rangle,$$ где $\downarrow$ стандартное ограничение.

С другой стороны, HC-индукция - это просто стандартная индукция по Борелю, но только для определенных символов. В этом случае$\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi\uparrow^G,\chi\rangle$. Таким образом, взаимность Фробениуса завершает доказательство.

Если $\pi$ содержит тривиальный характер $N$, тогда $\pi$ имеет (раздувание) характер $T$ в его ограничении $B$. Таким образом, его ограничение Хариш-Чандры не равно нулю. Позволять$\chi$быть одним из его компонентов. Тогда HC-индукция$\chi$ должен включать $\pi$ по вышеуказанному заявлению.