Последовательность эпиморфизмов финитно аппроксимируемых групп стабилизирует
Позволять $G_1 \to G_2 \to \cdots$- последовательность эпиморфизмов конечно порожденных финитно аппроксимируемых групп. Стабилизируется ли она в конечном итоге? То есть все, кроме конечного числа эпиморфизмов, на самом деле изоморфизмы?
Обратите внимание, что конечно порожденные финитно аппроксимируемые группы хопфовы, поэтому это исключает простой контрпример каждого $G_i$ будучи фиксированной группой, и каждый эпиморфизм фиксирован сам на себя.
Аналогичный результат имеет место, когда группы аппроксимируемы свободными: это предложение 6.8 Шарпантье Гирарделя «Предельные группы как пределы свободных групп» . Доказательство использует только тот факт, что финитно-свободные группы аппроксимируемы.$SL_2(\mathbb{C})$, и кажется, что его можно адаптировать к случаю, когда каждый $G_i$ остаточно $GL_n(\mathbb{C})$ для фиксированного $n$. Кажется маловероятным, что это верно для общих резидентно конечных групп: из теоремы Жордана-Шура следует, что для общей конечной группы минимальная степень$n$ так что он встраивается в $GL_n(\mathbb{C})$ может быть сколь угодно большим.
Есть ли другой способ адаптировать доказательство? Есть контрпример?
Ответы
Ответ - нет". Группа фонарщиков (которая представлена бесконечно) является пределом последовательности виртуально свободных групп и сюръективных гомоморфизмов (см., Например, этот вопрос и ответы там ). Все практически свободные группы финитно аппроксимируемы.
В том же духе, что и ответ Додда, контрпример можно вывести из второй группы Хаутона. $H_2$, которая определяется как группа биекций $L^{(0)} \to L^{(0)}$ который сохраняет смежность и несмежность для всех, кроме конечных пар вершин в би-бесконечной прямой $L$. Презентация$H_2$ является $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle$$ где $t$ соответствует единичному переводу и $\sigma_i$ к перестановке $(i,i+1)$. Теперь обрежьте презентацию и определите$G_n$ через $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ n \geq |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle.$$ Используя соотношения $t\sigma_it^{-1}=\sigma_{i+1}$ чтобы снять генераторы $\sigma_0,\sigma_{-1},\ldots$ а также $\sigma_{n+2},\sigma_{n+3},\ldots$, находим следующее представление $G_n$: $$\left\langle \sigma_1, \ldots, \sigma_{n+1}, t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ 1 \leq i \leq n} \right. \right\rangle.$$ Обратите внимание на эту презентацию, что $G_n$ разлагается как расширение HNN $$\left\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_{n+1} \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \right. \right\rangle,$$ которая оказывается изоморфной симметрической группе $\mathfrak{S}_{n+2}$, где стабильная буква сопрягает $\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_n \rangle$ к $\langle \sigma_2, \ldots, \sigma_{n+1} \rangle$. Таким образом, как расширение HNN конечной группы,$G_n$ должен быть практически бесплатным.
Вывод состоит в том, что канонические фактор-отображения $G_1 \twoheadrightarrow G_2 \twoheadrightarrow \cdots$ определяет последовательность эпиморфизмов между практически свободными группами, которая не стабилизируется.
Замечание: Воспроизводя приведенный выше аргумент почти дословно с группой фонарщиков.$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ вместо группы Houghton $H_2$дает тот же вывод. Причина в том, что эти группы имеют схожую структуру: они имеют вид$C \rtimes \mathbb{Z}$ для некоторой локально конечной группы Кокстера $C$ где $\mathbb{Z}$ действует на $C$ через изометрию графа, определяющую $C$. (Грубо говоря, все остальные группы этой формы могут быть восстановлены из$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ а также $H_2$, так что других интересных примеров в этом направлении нет.)