Позволять $E = \{ 1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}$. Определить множества внутренних, накопительных, изолированных и граничных точек.

Question

Надеюсь, этот вопрос подходит для этого форума. Если нет, дайте мне знать. Хотелось бы узнать , верны ли обоснования (доказательства) решения.

Позволять $E = \{1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}$. Также$\sup E = 1$ с участием $1 \in E$ и $\inf E = 0$ так $E \subset (0,1]$.

1. Множество внутренних точек E: пусть $c > 0, c \in \mathbb{R}$. Возьми любой$x \in E$. Рассмотрим интервал$(x-c,x+c)$ так как этот интервал содержит рациональное и иррациональное число, то $(x-c,x+c) \not\subset E$ поэтому x не внутренняя точка E. Следовательно, никакие внутренние точки в E и множество внутренних точек E не являются пустым множеством $\phi$.

2. Множество точек накопления E: за каждые $c > 0, c \in \mathbb{R}$, возьми любой $x \in (0,1]$. Рассмотрим интервал$(x-c,x+c)$ поскольку этот интервал содержит рациональные и иррациональные числа и $E \subset \mathbb{Q}$ тогда $(x-c,x+c)\cap E$ содержит бесконечно много точек E. Следовательно, множество точек накопления E равно (0,1].

3. Множество изолированных точек E: пусть $c > 0, c \in \mathbb{R}$. Возьми любой$x \in E$. Рассмотрим интервал$(x-c,x+c)$ так как этот интервал содержит рациональное и иррациональное число, то $(x-c,x+c) \cap E \subset E \neq \{ x \}$ поэтому x не является изолированной точкой E. Следовательно, никакие изолированные точки в E и множество изолированных точек E не являются пустым множеством $\phi$.

4. Множество граничных точек E: Для каждого $c > 0, c \in \mathbb{R}$ затем каждый интервал $(0-c,0+c)$ имеет хотя бы одну точку вне E и хотя бы одну точку внутри E. Также каждый интервал $(1-c,1+c)$ имеет хотя бы одну точку вне E и хотя бы одну точку внутри E. В противном случае для любого $x \in E$ не каждый интервал $(x-c,x+c)$ имеет хотя бы одну точку вне E и хотя бы одну точку внутри E. Следовательно, множество граничных точек E равно {0,1}.

Примечание. Справочник по определениям внутренних, накопительных, изолированных и граничных точек - это «Элементарный реальный анализ» Б. Томсона, Дж. Б. Брюкера и А. М. Брукнера, разд. 4.2, п. 165.

Заранее благодарим за комментарии.

Answer 1

Правильно сказать, что $(x - c, x + c)$ содержит как рациональные, так и иррациональные числа, и правильно сказать, что $E \subseteq \mathbb{Q}$; но это неправильно говорить$(x - c, x + c)$ содержит некоторых членов $E$как следствие. В качестве простого примера пусть$x = 3/4$ и $c = 1/8$; интервал$(5/8,7/8)$ не содержит членов $E$. Важно то, что все участники$E$ находятся в $\mathbb{Q}$ не означает, что члены $\mathbb{Q}$ в $(x - c, x + c)$ оказываются такими же, что и в $E$!

Эта ошибка влияет на ваши ответы в пунктах 2, 3 и 4. Чтобы вы начали ее исправлять, вот предложение по № 2.

Позволять $1/2 < x < 1$. Интервал$(1/2, 1)$ открытый интервал, содержащий $x$ который не включает ни одного члена $E$ (поскольку все члены $E$ Кроме как $1$ и $1/2$ меньше чем $1/2$), так $x$ не точка накопления $E$.

А пока я предоставлю вам возможность применить этот образ мышления в более общем плане.