Позволять $x_0$ быть трансцендентным числом, $x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_n^2+3x_n-2}$. Какой предел $x_n$?

Jan 15 2021

Позволять $x_0$ быть трансцендентным числом, $$x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_{n}^{2}+3x_{n}-2}$$ Какой предел $x_{n}$?

Выбирать $x_0=\pi$, и кажется, что предел $x_n$ является $-1$. Но какие доказательства этому$\pi$и другие числа? Позволять$$f(x)=\frac{3-x}{x^{2}+3x-2}$$ Следующее может быть полезным. $$f'(x)=\frac{(x-7)(x+1)}{(x^{2}+3x-2)^2}$$ $$f(x)-x=\frac{-(x-1)(x+1)(x+3)}{x^{2}+3x-2}$$ $$f(x)+1=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x-2}$$.

Ответы

VarunVejalla Jan 15 2021 at 21:05

Позволять $f(x) = \frac{3-x}{x^2+3x-2}$. Если$\lim x_n$ существует, то $L = \lim x_{n+1}=\lim x_n$, так что установите $$L=f(L)$$

Для этого есть три решения: $L = -3, -1, 1$. Чтобы найти правильный, обратите внимание, что для небольшого района вокруг$-3$, у тебя есть $|f(x)+3|>|x+3|$, и вокруг $1$, у тебя есть $|f(x)-1|>|x-1|$. Для обоих$-3$ а также $1$, разница будет еще больше. Вокруг$-1$ с другой стороны, у вас есть $|f(x)+1|<|x+1|$, поэтому разница становится меньше (это не строгое доказательство, а скорее интуитивное).

Таким образом, для «большинства» $x_0$, он будет сходиться к $-1$. Единственный способ сойтись$-3$ или же $1$если он сходится точно за конечное число итераций. Но для того, чтобы это было правдой, это должно быть решение$$f^n(x_0) = -3$$ (или же $1$) для некоторых $n$, что означает, что он должен быть алгебраическим. Следовательно, для всего трансцендентального предел будет$-1$.