Право обратное тогда и только тогда, когда на
Я пытаюсь доказать следующий результат.
Докажи это $f: X \to Y$находится на том и только в том случае, если у него есть правая инверсия. Затем докажите, что это обратное не обязательно единственно (т. Е. Когда$f$ не является инъективным).
Вот что я придумал, хотя, в частности, мое «доказательство» отсутствия уникальности не очень строгое.
Доказательство. Предположим$f: X \to Y$сюръективно. Позволять$y \in Y$, значит, существует $x \in X$ такой, что $f(x) = y$. Хотя это$x$ не может быть уникальным, определим отображение $g: Y \to X$ по правилу $g(y) = x$, используя Аксиому Выбора. Для любого такого$y$ со свойством, что $g(y) = x$, у нас есть: $$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y, $$ так $f \circ g = i_Y$, и $g$является правым обратным. Наоборот, предположим$f$ имеет правую инверсию, $g: Y \to X$ со свойством, что $f \circ g = i_Y$. Позволять$y \in Y$. потом$g(y) = x$ для некоторых $x \in X$. Затем мы замечаем, что$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = i_Y (y) = y $$ так $f$сюръективно. Этот правый обратный не уникален, потому что нам нужно было задействовать Аксиому выбора, чтобы определить$g(y) = x$ для некоторых $x$. В случае, когда$f$ не является инъективным, учитывая любой $y \in Y $, потенциально существует бесконечно много $x$ такой, что $f(x) = y$, и мы могли бы определить $g(y)$ равным любому из этих x, каждый из которых даст одинаково действительный правый обратный.
Как выглядит это доказательство? Является ли это подходящим вариантом использования? Есть ли способ сделать доказательство отсутствия уникальности более строгим?
Заранее спасибо.
Ответы
Мне кажется, ваше доказательство «если и только если» очень хорошо. Однако ваше доказательство неединственности немного ненадежно.
Чтобы доказать неединственность, достаточно (и почти всегда проще) показать это на примере. Вы можете приготовить любой пример, но вот первый, который пришел мне в голову.
Предположим, что $X=\mathbb{R}^2$ и $Y=\mathbb{R}$ с участием $f:X\to Y$ будучи $f(x,y)=x$. Ясно, что эта функция включена. Теперь определите следующую карту$S_1:Y\to X$ по $S_1(x)=(x,0)$. Не нужно много времени, чтобы убедить вас, что$f(S_1(x))=i_Y$.
Кроме того, карта $S_2:Y\to X$ определяется $S_2(x)=(x,x)$ также даст $S_2(f(x))=i_Y$. Но$S_1\neq S_2$ Итак, мы показали, что есть две функции, которые дают желаемый результат, которые не совпадают (и, следовательно, обратная функция не обязательно должна быть уникальной).