Предел выпуклой функции
Мне нужно проверить следующее упражнение:
Позволять $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ выпуклая функция.
Докажи это $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ и $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ существовать
Покажите, что если оба предела конечны, то $f$ постоянно.
Моя попытка:
я знаю, что если $f$ выпукло, то $$f(t x_1 + (1-t)x_2)< t f(x_1) + (1-t) f(x_2)$$
Если я исправлю произвольный $N>0$, то у меня это для $x>x_2 \colon \quad f(x)>N$, благодаря выпуклости, поэтому это доказывает предел $+ \infty$ является $+\infty$.
Тот же аргумент применим к $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$: достаточно заметить, что для $x<x_1 \colon \quad f(x)>N$.
II)
Графически это очевидно, но у меня проблемы с оформлением.
Если предел конечен, скажем $L$, то для каждого $\varepsilon >0$ существует $M(\varepsilon)$ так что для $$x>M(\varepsilon) \colon \quad |f(x)-L|\leq \varepsilon$$
Предполагать $f (x) \ne c$. По определению выпуклости оно должно выполняться (для$t \in [0,1]$) $$t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1))$$
Теперь по определению предела $f(M)$ и $f(M+1)$ меньше чем $L-\varepsilon$. Также можно упростить аргумент в правой части неравенства:
$$L-\varepsilon <t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1)) = f(M-t)$$
Следовательно $$L-\varepsilon < f(M-t)$$, что противоречит тому, что $M-t<M$ и, следовательно, может быть больше, чем $L-\varepsilon$.
Так $f$ должно быть равно $c$. В самом деле, в этом случае он все еще (тривиально) выпуклый, и пределы, конечно, конечны.
Ответы
Подсказка: попробуйте доказать, что выпуклая функция либо убывает, либо возрастает, либо убывает, а затем увеличивается.
выпуклость обычно означает "$\le$", а не"$\lt$"(иначе" строго выпуклый ").
Вы не хотите показывать, что f всегда стремится к бесконечности, потому что в этом нет необходимости.
Начать с $x\rightarrow\infty$.
Предположим, сначала есть две точки $x\lt y$ с участием $f(x)\lt f(y)$. Тогда мы можем показать, что f стремится к бесконечности. Без ограничения общности можно предположить, что$x=0$ и $f(x)=0$ (если нет, просто сдвиньте и сдвиньте f до тех пор, пока это не произойдет. Это не изменит интересующего нас поведения.)
Рассмотрим некоторые $z>y$. поскольку$y>x=0$, тогда $z=y/t$ для некоторых $0<t<1$. Итак, по выпуклости,$$tf(z)=tf(y/t)+(1-t)f(0)\ge f(t(y/t)+(1-t)0)=f(y)$$ Так $f(z)\ge f(y)/t$. В виде$z\rightarrow \infty$ ясно что $t$ идет в $0$, так $f(y)/t\rightarrow\infty$ (Помните $f(y)>0$), а значит, и $f(z)$. Поэтому в этом случае$f$ увеличивается до бесконечности.
В противном случае наше предположение было ложным, поэтому f должно быть либо постоянным, либо непостоянным и монотонно убывающим. Предположим, это последнее. Снова переместите начало координат так, чтобы$f(0)=0$. потом$f(1)<0$ и с помощью свойства выпуклости легко показать, что $f(t)\le t f(1)$ и другие $f$ уходит в минус бесконечность.
Затем вы можете повторить рассуждение по симметрии для поведения как $x\rightarrow-\infty$.