Ранг конечной группы и ее представления
$\DeclareMathOperator\Rep{Rep}\DeclareMathOperator\rank{rank}$Позволять $G$ - конечная группа, и $C=\Rep(G)$ - моноидальная категория комплексных конечномерных представлений $G$. Так как$C$ конечна и полупроста, все представления можно получить из $\oplus$ и конечное множество $I$неприводимых представлений. Согласно классической теории характеров, существует (неканоническая) биекция между$I$ и $\mathrm{Conj}(G)$. В этой теме я надеюсь разобраться в противоречии, если таковое имеется, между обеими сторонами с учетом$\otimes$.
Чтобы быть более точным, пусть $V$ быть неприводимым точным представлением $G$. Тогда каждое представление возникает как подмодуль$V^{\otimes n}$ для некоторых $n$(ср. то и это ), и наоборот! Затем мы говорим, что$V$ сам генерирует $C$ под $\otimes$и пополнение Коши. Однако не каждая группа имеет неприводимое точное представление. В том же посте мы видим, что это в значительной степени касается «ранга» цоколя$G$.
Подводя итог, определите ранг, $\rank(G)$, чтобы быть минимальным количеством элементов, необходимых для создания $\mathrm{socle}(G)$при спряжении. Определите ранг,$\rank(C)$, чтобы быть минимальным количеством неприводимых элементов, необходимых для генерации $C$ под $\otimes$и пополнение Коши. потом
$$ \rank(G) = 1 \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = 1 $$
Вопрос
Обобщается ли эта эквивалентность на
$$ \rank(G) = n \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = n, $$
для каждого натурального числа $n$?
( РЕДАКТИРОВАТЬ Как Цяочу указал в комментарии, это верно для конечных абелевых групп по двойственности Понтрягина.)
Ответы
Ответ на ваш вопрос утвердительный, и это основная теорема статьи Žmudʹ, È. М. Об изоморфных линейных представлениях конечных групп. Мат. Сб. NS 38 (80) (1956), 417–430.
Его можно найти в теореме 5 на стр. 245 книги «Характеры конечных групп». Часть 1. Берковича и «Муди». Теорема сформулирована по-другому, но эквивалентно, и доказывается очень похоже на теорему Гашуца.
Теорема Žmudʹ говорит, что $G$ имеет верное представительство с $k$ неприводимые составляющие тогда и только тогда, когда цоколь $G$ может быть порождена как нормальная подгруппа не более чем $k$элементы. В частности, наименьшее количество нормальных образующих$\mathrm{socle}(G)$ совпадает с наименьшим числом неприводимых составляющих в некотором точном представлении $G$.
Теперь достаточно заметить $\mathrm{rank}(C)$ в точности минимальное число неприводимых составляющих в точном представлении $G$. Действительно, если$V$ - любое точное представление, то теорема Бернсайда (или обобщение Р. Стейнберга) показывает, что каждый неприводимый модуль является прямым слагаемым в тензорной степени $V$ и поэтому неприводимые составляющие $V$ генерировать $C$под тензорным произведением, прямые суммы и прямые слагаемые. С другой стороны, если$\rho_1,\ldots, \rho_k$ неприводимые представления, прямая сумма которых не точна, то $\ker \rho_1\cap\dots\cap \ker \rho_k$ действует как тождество на всех модулях в подкатегории, порожденной соответствующими простыми модулями при операциях прямой суммы, тензорного произведения и взятия прямых слагаемых, и поэтому эти неприводимые представления не могут порождать $C$.
Таким образом $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(C)$