Рассчитать предел $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{[\ln (n)]^{2}}{n^{\frac{1}{\ln (\ln (n))}}}$.

Question

Я хотел бы знать, как рассчитать лимит $$ \lim _{n \to \infty} {\ln^{2}\left(n\right) \over n^{ 1/\ln\left(\,{\ln\left(\,{n}\,\right)}\,\right)}} $$ Я пытался изменить его форму, используя $\exp\left(\,{\ln\left(\,{x}\,\right)}\,\right) = x$ и изменение $X = \ln(\,{x}\,)$ но дело дошло до вычисления предела $$ \lim _{X \to \infty} \left[X^{2}\mathrm{e}^{-X/\ln\left(\,{X}\,\right)}\right] $$

Какие-либо предложения ?. Благодарю.

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \lim_{n \to \infty}{\ln\pars{n} \over n^{1/\ln\pars{\ln\pars{n}}}} & \,\,\,\stackrel{n\ \mapsto\ {\large\expo{n}}}{=}\,\,\, \lim_{n \to \infty}{n \over \expo{n/\ln\pars{n}}} \,\,\,\stackrel{n\ \mapsto\ {\large\expo{n}}}{=}\,\,\, \lim_{n \to \infty}{\expo{n} \over \exp\pars{\expo{n}/n}} \\[5mm] = &\ \lim_{n \to \infty}\exp\pars{n - {\expo{n} \over n}} = \bbx{\large 0} \\ \end{align}

Answer 2

Широта $$x=\log(\log(n)) \implies n=e^{e^x}$$ что делает выражение

$$A=\frac{[\ln (n)]^{2}}{n^{\frac{1}{\ln (\ln (n))}}}=e^{2 x-\frac{e^x}{x}}$$ Сейчас же, ${2 x-\frac{e^x}{x}}<0$ как только $$x > -2 W\left(-\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right) \approx 1.5$$ и ${2 x-\frac{e^x}{x}}\to -\infty$ а затем предел $0$.

Answer 3

От $x=\ln n \to \infty$ у нас есть

$$\frac{[\ln (n)]^{2}}{n^{\frac{1}{\ln (\ln (n))}}} = \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{\ln x}}}= \frac{\left(\frac{x}{\ln x}\right)^3}{e^{\frac{x}{\ln x}}}\frac{(\ln x)^3}{x}\to 0\cdot 0=0$$

действительно $y=\frac{x}{\ln x}\to \infty$ в конце концов $e^y\ge y^4$ а потом

$$\frac{\left(\frac{x}{\ln x}\right)^3}{e^{\frac{x}{\ln x}}}=\frac{y^3}{e^y} \le \frac{y^3}{y^4}=\frac1y \to 0$$

и по $\ln x=z \to \infty$

$$\frac{(\ln x)^3}{x}=\frac{z^3}{e^z}\to 0$$

Answer 4

Посмотрим на знаменатель:

$$n^{\frac{1}{\ln (\ln n )}}=\mathrm e^{\frac{\ln n}{\ln (\ln n)}}$$ так что мы можем переписать дробь как $$\frac{n^2 }{n^{\frac{1}{\ln (\ln (n))}}}=\mathrm e^{2\ln(\ln n)-\tfrac{\ln n}{\ln(\ln n)}}. $$ Теперь рассмотрим показатель степени: как $\ln^2 u=_{\infty}o(u)$, у нас есть $2\ln^2u-u\sim_\infty -u$, откуда заменой $u=\ln n$, $$-\frac{2(\ln(\ln n))^2-\ln n}{\ln(\ln n)}\sim_\infty-\frac{\ln n}{\ln(\ln n)}\to 0.$$