Расширенное соответствие Куммера без корней из единицы (Серж Ланг)
Пытаюсь решить следующую проблему.
Позволять $k$ быть полем характеристики $0$. Предположим, что для каждого конечного расширения$E$ из $k$, индекс $(E^* : E^{*n})$конечно для любого натурального n. Покажите, что для каждого положительного целого числа$n$существует лишь конечное число абелевых расширений $k$ степени $n$.
Если $k$ содержит примитивный корень n-й степени из единицы, можно использовать взаимно-однозначное соответствие абелевого расширения $k$ экспоненты n и подгруппы $k^*$ содержащие n-е степени ненулевых элементов $k$. Для этого случая один из способов решения такой же, как в ответе на этот пост: Найдите взаимно однозначное соответствие между полем Куммера и подгруппой Галуа .
Но для $k$ не содержащий корней n-й степени из единицы, имеем ли мы какое-либо соответствие между, скажем, абелевым расширением $k$ экспоненты m и абелево расширение $k(\zeta)$ экспоненты n, откуда $\zeta$ есть примитивный корень n-й степени из единицы?
Я заметил, что абелево расширение $k$ экспоненты n имеет степень расширения не более, чем степень расширения над $k(\zeta)$ абелевого расширения $k(\zeta)$ экспоненты n, порожденной тем же множеством, умноженной на $\varphi(n)$откуда $\varphi(n)$ обозначает функцию Эйлера.
Другое наблюдение: предположить $k$не содержит корней n-й степени из единицы. Пусть H - подгруппа в$k^*$ содержащие n-е степени ненулевых элементов $k$, тогда $H$ и $\zeta^j$ вместе порождает подгруппу $k(\zeta)^*$ содержащие n-е степени ненулевых элементов $k(\zeta)$.
Ответы
Позволять $L/k$ - совокупность всех абелевых расширений степени не выше $n$ над $k(\zeta_n)$. поскольку$k$ имеет нулевую характеристику, $L/k$отделима. Тогда, поскольку$k(\zeta_n)$ есть все $n$-корни единства, вы уже знаете, что $L/k$конечно. Если$E/k$ является абелевым расширением степени $\leq n$, тогда $E(\zeta_n)$ является абелевым расширением $k(\zeta_n)$ степени $\leq n$, следовательно $E\subset E(\zeta_n) \subset L$. поскольку$L/k$сепарабелен, он содержит не более конечного числа подрасширений. Следовательно, множество возможных$E$ конечно.