Реализация метациклической группы порядка 21
Я хотел бы понять неабелевы группы порядка $pq$ (с участием $q | p-1$) лучше. Для$q=2$ это двугранная группа, с которой мне комфортно.
Для каждого $pq$Я знаю, что есть именно одна из этих групп. Это полупрямой продукт. Его силовская структура$n_q = p$ и $n_p = 1$. Я мало о них знаю.
Я подсчитал следующие интересные групповые заказы 21, 39, 55, 57, 93. И я спрошу о 21.
Какова симметрия неабелевой группы порядка 21?
Я исследовал это и не нашел хорошего ответа. Я не думаю, что дело в симметрии вращения многогранников или в какой-то головоломке со скручиванием. Я видел, что самолет Фано имеет 7 линий и 3 точки на каждой линии, но я не знаю, можно ли его использовать. Действуют ли эти группы естественным образом в соответствии с каким-либо кодом дизайна? Или есть лучший способ понять их на более глубоком уровне? Спасибо!
Ответы
По каждому полю $F$ есть группа аффинных преобразований
$$x \mapsto ax + b, a \in F^{\times}, b \in F$$
действующий на аффинной прямой $\mathbb{A}^1(F)$ (который как набор просто $F$). Эквивалентно это группа$2 \times 2$ матрицы
$$\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \right].$$
Над конечным полем $F = \mathbb{F}_q$ мы получаем семью неабелианов (кроме случаев, когда $q = 2$) группы порядка $q(q - 1)$ которые представляют собой полупрямые продукты, построенные из действия $\mathbb{F}_q^{\times}$ на $\mathbb{F}_q$умножением. Кроме того, мы можем рассматривать подгруппы этой группы, ограничивая$a$ к подгруппе $F^{\times}$. Таким образом могут быть построены все интересующие вас группы.
Конкретная группа, которая вас интересует, появляется, когда $q = 7$ и $a$ ограничено лежать в подгруппе $(\mathbb{F}_7^{\times})^2$ квадратных элементов $\mathbb{F}_7^{\times}$. Это группа Фробениуса, и, согласно этой странице, она также действует на плоскости Фано.