Решение системы нелинейных уравнений: показать единственность или множественность решений
Рассмотрим эту систему $12$ уравнения $$ \left\{\begin{array}{rcrclr} \alpha^{2}p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & c_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \alpha\left(1 - \alpha\right)p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)\alpha\left(1 - p_{i}\right) & = & d_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \left(1 - \alpha\right)^{2}p_{i} & + & \alpha^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & e_i, & \forall i =1,2,3,4 \end{array}\right. $$ где
$\alpha \in \left[0,1\right]$
$p_{i} \in \left[0,1\right]$ $\forall i = 1, 2, 3, 4$
$c_{i}, d_{i}, e_{i}$ настоящие числа $\forall i = 1, 2, 3, 4$.
Я хочу показать, что эта система уравнений имеет (или не имеет) единственное решение относительно $\alpha, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$. Не могли бы вы помочь?
Это то, что я пробовал, и в чем я сложился. Позволять $i = 1$. Из второго уравнения получаем $$ \alpha - \alpha^{2} = d_{1} $$ который дает $$ \alpha_{\left(1\right)} = \frac{1 + \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2},\quad \alpha_{\left(2\right)} = \frac{1 - \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2} $$ Из первого уравнения можно получить $p_{1}$. Я полагаю, что из других уравнений можно аналогичным образом получить $p_{2}, p_{3}, p_{4}$.
Достаточно ли этого, чтобы показать, что система не имеет единственного решения? Или есть способ исключить одно из$\alpha_{\left(1\right)},\alpha_{\left(2\right)}$ ?
Ответы
Как вы заметили, вторые четыре уравнения сводятся к $\alpha-\alpha^2=d_i$. Итак, необходимое условие для того, чтобы система имела решение:$0\le d=d_1=d_2=d_3=d_4\le \frac 14$. Остальные уравнения сводятся к$$p_i(2\alpha-1)=c_i-(\alpha-1)^2=\alpha^2-e_i.$$ Следует $2\alpha^2-2\alpha=c_i+e_i-1=-2d_i$. Это еще одно необходимое условие для того, чтобы система имела решение. Мы предполагаем, что обе группы обязательных условий выполнены. Теперь возможны следующие случаи.
1)) $d=\tfrac 14$. потом$\alpha=\tfrac 12$. потом$p_i$ не определены системой, и она имеет решение (не единственное) тогда и только тогда, когда $e_i=\alpha^2=\frac 14$ для каждого $i$
2)) $0\le d<\frac 14$. Тогда есть два возможных варианта$\alpha_1$ и $\alpha_2$ за $\alpha$ и
$$p_i=\frac{\alpha^2-e_i}{2\alpha-1}=\frac{\alpha-d-e_i}{2\alpha-1}=\frac 12+\frac{1/2-d-e_i}{2\alpha-1}.$$
У нас есть $p_i\in [0,1]$ если только $|1-2d-2e_i |\le |2\alpha-1|=|2\alpha_j-1|$ для каждого $i$. Если это условие не выполняется для некоторых$i$, то у системы нет решений. В противном случае у него есть два решения, по одному для каждого$\alpha_j$.