решение, следующий предел

Question

Итак, задается следующий вопрос:

Я мог бы решить это частично, вот мой подход: предел имеет вид $(A+B)/C$ где $A$ и $B$ оба подхода $e^3$ в то время как $C$ подходы $0$,

Это можно узнать, просто оценив $A$ и $B$ отдельно.

Теперь мы можем записать предел как $$ \lim_{t \to 0} [(1+3t+2t^2)^{1/t} - e^3]/t -\lim_{t \to 0} [(1+3t-2t^2)^{1/t} - e^3]/t $$

но я не мог оценить эти два предела, по крайней мере, используя правило LH, поскольку производная числителя - довольно длинное выражение. Пожалуйста, предложите способ решения этого вопроса, вся помощь приветствуется.

Answer 1

\begin{align} &\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[(1+3t+2t^2)^{1/t}-(1+3t+2t^2)^{1/t}\right]=\\ &\qquad=\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[(1+3t+2t^2)^{\frac{1}{3t+2t^2}\frac{3t+2t^2}{t}}-(1+3t-2t^2)^{\frac{1}{3t-2t^2}\frac{3t-2t^2}{t}}\right]=\\ &\qquad=\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[e^{\frac{3t+2t^2}{t}}-e^{\frac{3t-2t^2}{t}}\right]=\\ &\qquad=e^3\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\left[e^{2t}-e^{-2t}\right]=\\ &\qquad=2e^3\lim_{t\to0}\left[\frac{e^{2t}-1}{2t}+\frac{e^{-2t}-1}{-2t}\right]=4e^3 \end{align}

Answer 2

$$A=(1+3t+2t^2)^{\frac 1 t}\implies \log(A)=\frac 1 t \log(1+3t+2t^2)$$ $$ \log(1+3t+2t^2)=3 t-\frac{5 t^2}{2}+3 t^3-\frac{17 t^4}{4}+O\left(t^5\right)$$ $$ \log(A)=3-\frac{5 t}{2}+3 t^2-\frac{17 t^3}{4}+O\left(t^4\right)$$ $$A=e^{\log(A)}=e^3\left(1-\frac{5 t}{2}+\frac{49 t^2}{8}-\frac{689 t^3}{48}\right)+O\left(t^4\right) $$

$$B=(1+3t-2t^2)^{\frac 1 t}\implies \log(B)=\frac 1 t \log(1+3t-2t^2)$$ $$ \log(1+3t-2t^2)=3 t-\frac{13 t^2}{2}+15 t^3-\frac{161 t^4}{4}+O\left(t^5\right)$$ $$ \log(B)=3-\frac{13 t}{2}+15 t^2-\frac{161 t^3}{4}+O\left(t^4\right)$$ $$B=e^{\log(B)}=e^3\left(1-\frac{13 t}{2}+\frac{289 t^2}{8}-\frac{8809 t^3}{48} \right)+O\left(t^4\right) $$ $$A-B=4 e^3 t-30 e^3 t^2+\frac{1015 e^3 t^3}{6}+O\left(t^4\right)$$ $$\frac{A-B}t=4 e^3 -30 e^3 t+\frac{1015 e^3 t^2}{6}+O\left(t^3\right)$$ показывает предел и способы его достижения.

Answer 3

Используя теорему Тейлора о натуральном логарифме и экспоненте, получаем, что \begin{align} (1+3t+2t^2)^{1/t} &=\exp{\left(\frac{\ln{(1+3t+2t^2)}}t\right)}\\ &=\exp{\left(\frac{(3t+2t^2)-(3t+2t^2)^2/2+o(t^2)}t\right)}\\ &=\exp{\left(3-\frac52t+o(t)\right)}\\ &=e^3\exp{\left(-\frac52t+o(t)\right)}\\ &=e^3\left(1-\frac52t+o(t)\right) \end{align} и аналогично мы имеем $$(1+3t-2t^2)^{1/t}=e^3\left(1-\frac{13}2t+o(t)\right)$$ Итак, ваш предел просто \begin{align} \lim_{t\to0}\frac{e^3\left(1-\frac52t+o(t)\right)-e^3\left(1-\frac{13}2t+o(t)\right)}t &=\lim_{t\to0}\frac{4e^3t+o(t)}t\\ &=\lim_{t\to0}(4e^3+o(1))\\ &=\boxed{4e^3}\\ \end{align}