Я думаю ответ

$$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

Доказательство

Предположим, мы записываем наше исходное число как $$N = a_n 10^n + a_{n-1}10^{n-1} +\ldots + a_0 = \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j$$ Тогда уравнение, описанное в задаче, имеет вид $$ 2 \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j = a_0 10^n + \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1}$$ Перестановка дает $$ \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j ((2 \times 10^j) - 10^{j-1}) = a_0 (10^n - 2)$$ которое значит что $$ 19 \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1} = a_0 (10^n -2)$$ Теперь обратите внимание, что левая часть делится на $19$ так что правая часть тоже должна быть, но так как $a_0$ взаимно прост с $19$, это значит, что $10^n - 2$ делится на $19$. Поэтому мы ищем наименьшую мощность$10$ что соответствует $2$ по модулю $19$.

Проходя через силы$10$ по модулю $19$ дает $10, 5, 12, 6, 3, 11, 15, 17, 18, 9, 14, 7, 13, 16, 8, 4, 2, \ldots$.
Следовательно, наименьшая мощность$10$ это работает $10^{17}$. Включение этого в наше уравнение дает$$ \displaystyle \sum_{j=1}^{17} a_j 10^{j-1} = a_0 \frac{10^{17} -2}{19}$$ Ясно, что мы не можем выбрать $a_0=1$ так как в правой части будет слишком мало цифр, но если мы выберем $a_0=2$ (для достижения минимума), то кажется безопасным, что у нас будет $17$-цифровое число с правой стороны, и мы можем просто выбрать остальную часть $a_j$соответственно слева.

Это означает, что самые маленькие$N$ какие работы должны быть $$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

Компьютерная проверка

Работая с компьютером, кажется, что ценность $N$ выше $105263157894736842$ и удвоение этого дает $210526315789473684$ так что это действительно работает.

Сдвиг цифры справа налево

Ответы