Схемы не чередующихся узлов

Aug 19 2020

(Я спросил об этом на MSE несколько дней назад без четкого разрешения.)

Начните с замкнутой самопересекающейся кривой, каждое пересечение которой поперечно. Теперь сформируйте что-то вроде противоположности диаграммы чередующихся узлов, как показано ниже. Начав с любого места, пересеките кривую и на каждом ранее невиданном пересечении пересекайте / выше. Если переход уже посещался, оставьте присвоенное обозначение перехода.

Ниже показаны два примера. (а) явно развязка. (б) также является развязкой, возможно, не так очевидно.


Красный кружок указывает начальную точку, стрелка - направление обхода.


Я ожидал, что эти диаграммы, очевидно, представляют развязку, но я не вижу четкого доказательства. Так:

Вопрос . Докажите (или опровергните), что такая узловая диаграмма всегда представляет собой узел.

Ответы

6 Wojowu Aug 19 2020 at 05:15

Параметризуем плоскую кривую следующим образом: $\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2$ и предполагать $\gamma(0)=\gamma(1)=(0,0)$. Тогда ваша кривая - это диаграмма узла, которая параметризуется$K:[0,2]\to\mathbb R^3$ дано $$K(t)=\begin{cases}(\gamma(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$(по сути, представьте, что вы подвешиваете свой узел на палке, так что веревка спускается с постоянной скоростью). Затем мы можем «размотать» этот узел. А именно, поскольку$\gamma$ только проходит $(0,0)$ в конечных точках мы можем написать $\gamma(t)$ в полярных координатах $(r(t),\phi(t))$ с участием $r,\phi$ непрерывно на $(0,1)$. Затем мы можем развязать$K$ следующей последовательностью узлов $K_s$, который начинается без узла и заканчивается на $K$, записанный в цилиндрических координатах: $$K_s(t)=\begin{cases}(r(t),s\phi(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$