Соотношение площадей двух правильных многоугольников

Aug 18 2020

Многоугольники на рисунке ниже являются правильными многоугольниками (правильным семиугольником), имеют общую вершину, и оранжевая линия пересекает три вершины двух правильных многоугольников, площадь маленького правильного многоугольника и большого правильного многоугольника обозначена как $S_1$, $S_2$, что такое $\frac{S_1}{S_2}$?

Дополнительный вопрос (правильный девятиугольник)

Ответы

2 cr001 Aug 18 2020 at 14:17

Не буду вдаваться в расчет, но идея такова.

Первый с $\triangle ADE$ и $\triangle BDF$ похожи, мы знаем $AE$ пройти через $G$.

Теперь мы можем рассчитать $DG$,$GC$,$AG$ на основе левого семиугольника и поскольку $AD\parallel CE$ мы можем рассчитать $GE=GC\cdot {AD\over DG}$. Также мы знаем$\angle DGE=180^{\circ}-\angle AGD={5\over 7}180^{\circ}$.

Следовательно $DE^2=DG^2+GE^2-2\cos({5\over 7}180^{\circ})DG\cdot GE$.

Если вы позволите $a=DG,b=DA,c=DB$, Есть некоторые личности здесь

Используя личность, $\cos({5\over 7}180^{\circ})=-{a^2+c^2-b^2\over 2ac}=-{a+b\over 2c}$

Новое редактирование: на самом деле только что реализовано $\angle GEB=\angle GAD=\angle GBE$ так $GE$ на самом деле просто $b$.

Теперь расчет действительно прост:

$$ED^2=a^2+b^2+ab\cdot{(a+b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+{bc(c-b)+c(c+a)(c-b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+bc-b^2+c^2+ac-bc-ab$$ $$=a^2+c^2+ac-ab$$ $$=a^2+c^2+b^2-a^2-c^2+b^2$$ $$=2b^2$$

Так что площадь ровно в два раза.

1 cr001 Aug 19 2020 at 06:22

Решение развести $2$ (дополнительная проблема):

Позволять $I$ быть точкой, где $AD$ пересекать описанную окружность $O$ из $\triangle ABC$. Подключить$IO$. поскольку$AI$ биссектриса угла $BI=CI$.

Легко увидеть трапецию $BDEC$ симметричен относительно $IO$. более того$\angle IBC=\angle ICB=10^{\circ}$ так $\angle IBD=50^{\circ}$.

Теперь позвольте $\angle IDB=x$. При отслеживании угла с использованием вышеуказанной информации мы находим$$\angle BID=130^{\circ}-x$$ $$\angle IDE=140^{\circ}-x$$ $$\angle DIE=2x-100^{\circ}$$.

Если $ID>DB=DE$, то имеем $50^{\circ}>130^{\circ}-x$ и $140^{\circ}-x>2x-100^{\circ}$ так $80^{\circ}>x>80^{\circ}$ что невозможно.

Если $ID<DB=DE$, то имеем $50^{\circ}<130^{\circ}-x$ и $140^{\circ}-x<2x-100^{\circ}$ так $80^{\circ}<x<80^{\circ}$ что невозможно.

Следовательно $ID=DB=DE$ и $\triangle IDE$ равносторонний, следовательно $\angle IDE=60^{\circ}$ и $\angle ADH=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$. Следовательно$BD \perp AC$.

($N$ просто $C$ перемаркирован)

Остальное просто один раз $BD\perp AC$. Мы можем найти$\angle MDN=360^{\circ}-60^{\circ}--90^{\circ}-120^{\circ}=90^{\circ}$.

поскольку $\angle DMN=60^{\circ}$, $DN=\sqrt{3} DM$ а соотношение площадей точно $3$.